Вопрос №4.Запись чисел в позиционных системах счисления.

Каждая позиционная система характеризуется некоторым числом, который называют основанием системы.

В качестве основания может быть принято любое натуральное число р≥2.

Система счисления с основанием р называется р-ичной. В р-ичной системе числа записываются с помощью р цифр. Например, в семиричной системе используется семь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Если основание р>10, то используется обозначение 0, 1, 2 … 9, (10), (11).

В 13-ичной системе пользуются цифрами 0, 1, 2 … 9, (10), (11), (12).

Записью произвольного натурального числа х в системе счисления с основанием р называется представление его в виде х=an*рⁿ+an-1*р^n-1+ … a₁*p+a₀ (1)

где 0≤a_j≤p-1, (j=0,1,2…n)

Формулу (1) также записывают коротко x= an an-1 … a₁ a_0p

Пр. 3546₇ – это запись в 7-ичной системе и она означает 3*7³+5*7²+4*7+6=1308

Если число записано в 10-ичной системе, то индекс 10 не ставят

Пр. 23851₁₀=2*10⁴+3*10³+8*10²+5*10+1

Вопрос №5. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной.

Хотя десятичная система вытеснила из обихода все остальные системы не десятичной системы также играют большую роль. В компьютере для записи применяется двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы записи чисел.

В системе счисления с основанием рместо занимаемой цифрой называется разрядом. Разряды читаются с права на лево.

Число х=а_na_n-1…a₁a_0pсодержит а₀1 разряда, а₁-2 разряда и т.д.

Каждые р-единиц одного разряда образует единицу следующего старшего разряда.

Сложение, вычитание, умножение и деление чисел в любой позиционной системе производится аналогично выполнению этих действий десятичной системы. Для выполнения сложения и вычитания удобно сначала составить таблицу сложения.

Пр. Таблица сложения в 5-ичной системе.

	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	10
2	2	3	4	10	11
3	3	4	10	11	12
4	4	10	11	12	13

5=1*5+0=10₅

6=1*5+1=11₅

7=1*5+2=12₅

При сложении слагаемое записывается поддругим, так чтобы цифры одинаковых разрядов стояли одной вертикали. Если при сложении получается двухзначное число, то в результат записывается лишь последняя цифра, а первая цифра запоминается и прибавляется к результату сложения чисел следующего разряда.

	3	0	4	6	27
+
		4	3	2	37
	3	5	1	1	57

	2	3	4	15
+
		2	1	45
	3	1	1	05

	2	0	4	3	15
+			3	0	45
		1	2	0	35
	2	2	4	4	35

Пр.

	2	1	(11)	3	813
-
		9	(10)	7	513
	1	5	0	9	313

	1	7	4	6	0	28
-
		2	6	4	1	58
	1	4	6	1	6	58

Пр. Составим таблицу умножения чисел в пятеричной системе.

	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	11	13
3	0	3	11	14	22
4	0	4	13	22	31

Вопрос №6. Переход от одной системы счисления в другую.

Пример1: записать число в 5-ичной системе счисления.

Основание новой системы – число 5. В восьмеричной системе это число записывается числом 5.

Чтобы перевести число в 5-ичную систему, необходимо и остаток 3. Затем 1063:5=160 и остаток 3. Далее 160:5=26 и остаток 2. 26:5=4 и остаток 2.

Остатки 3, 3, 2, 2, 4 в новой 5-ичной системе записываются этими же числами, но их следует записывать в обратном порядке.

Необходимо учитывать, что

Пример 2: записать число в 7-ичной системе.

Основание новой системы – число 7, в троичной системе она записывается как

Чтобы перевести число в 7-ичную систему, необходимо и остаток 12. Затем 1000:21=10 и остаток 20.

Числа 5, 6, 3 в 7-ичной системе записываются в этой системе также, но в обратном порядке:

Вопрос №7. Понятие об аксиоматическом методе.

Любая математическая теория представляет собой совокупность представлений, описывающих объекты, изучаемых этой теорией. Метод построения теории, при котором в основу кладутся некоторые исходные предложения, а остальные логически выводятся из них называются аксиоматическим методом.

При аксиоматическом методе сначала выделяются некоторые объекты и отношения между ними, которые принимаются за основные понятия.

Каждое понятие, которого нет в списке основных должно иметь свое определение. После основных понятий и отношений формулируются основные предложения –аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательств.

Справедливость аксиом обуславливается многовековой практикой, кроме того они должны удовлетворить след требования:

1. Непротиворечивость

2. Полнота

3. Независимость

Теория непротиворечива если из ее аксиом нельзя вывести два противоположных предложения.

Систему аксиом считают полнойесли относительно любого предложения в данной теории можно сказать истинно оно или ложно.

Система аксиом называется независимойесли никакая ее аксиома логически не следует из остальных аксиом.

Каждое утверждение , которого нет в списке аксиом должна быть доказана так появляется терема.

Образцом применения аксиоматического метода до 19 века была геометрическая система известная под названием «Начала Евклида ». (3 в. До н. э). Итальянский математик Д. Пеано в 1889 году сделал попытку аксиоматизировать множество целых неотрицательных чисел.

Вопрос №8.Аксиомы Пеано. Определение целого неотрицательного числа.

Основные неопределяемые понятия:

· Множество ( N0 - натуральные числа с 0)

· Элемент (a,b,c, … )

· ∈ (Принадлежит)

Основное отношение a ,

- «непосредственно следовать за …»

- элемент, непосредственно следующий за элементом а.

Аксиома 1.Во множестве N0 существует элемент непосредственно не следующий ни за каким элементом ,его называют нулём и обозначают 0.

Аксиома 2. Для каждого элемента из N0 существует единственный элемент а’ непосредственно следующий за а.

(∀а,в,с∈N0) (a=b=>a’=b’)

Аксиома 3. Для каждого элемента а≠0(а не равному нулю) ,существует единственный элемент за которым непосредственно следует а.

(∀а,в,с∈N0) ( a’=b=>a=b)

Аксиома 4. Если множество М является подмножеством N0 и известно, что

а) 0 ∈M

б)из того, что а ∈N следует ,что а’ ∈M ,то М совпадает с N0.

Определение. Множество N0 для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за» ,удовлетворяющее аксиомам 1-4 называется множеством целых неотрицательных чисел, а его элементы - целыми неотрицательными числами.

Используют следующую запись 0’=1, 1’=2.

Вопрос №9. Способы математических доказательств. Метод математической индукции.

Математическое доказательство – это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

Прямые доказательства.

1) Основываясь на некоторых истинных предложениях и условии теоремы строится цепочка дедуктивных умозаключений, которые приводят к истинному заключению.

Пример. Докажем, что вертикальные углы равны. Углы 1 и 2 – смежные, следовательно,  Ð 1 + Ð 2 = 180о. Углы 2 и 3 – смежные, следовательно, Ð 2 + Ð 3 = 180о. Имеем: Ð 1 = 180о – Ð 2 Ð 3 = 180о – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2.

 

   2

1 3

 

2) Метод математической индукции. Утверждение справедливо для всякого натурального числа п, если: оно справедливо для п = 1 и из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального п = k следует его справедливость для п = k + 1. (Подробнее будет рассмотрено на старших курсах.)

3) Полная индукция (смотри ранее).

Косвенные доказательства.

1) Метод от противного. Пусть требуется доказать теорему А Þ В. Допускают, что ее заключение ложно, а значит, его отрицание   истинно. Присоединив предложение   к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых есть и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пример. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

Дано: хúú с, уúú с. Доказать, что х úú у.

Доказательство. Пусть прямая х не параллельна прямой у, т.е. прямые пересекаются в некоторой точке А. Следовательно, через точку А проходят две прямые, параллельные прямой с, что невозможно по аксиоме параллельности.

2) Доказательство, основанное на законе контрапозиции: вместо теоремы А Þ В доказывают равносильную ей теорему   . Если она истинна, то исходная теорема тоже истинна.

Пример. Если х2 – четное число, то х – четное число.

Доказательство. Предположим, что х – нечетное число, т.е. х = 2k + 1 Þ х2 = (2k + 1)2 =  = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 – нечетное.

В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции.

Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если

1. оно справедливо для n = 1 и

2. из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n = k следует его справедливость для n = k+1.

То есть, доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа:

1. во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1);

2. во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k;

3. в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.

Вопрос №10. Сложение целых неотрицательных чисел.

Сложением целых неотрицательных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве No(нулевое) и удовлетворяющая следующим аксиомам:

А1 - Для любого а принадл. No (а+0)=а

А2 - Для любого а и б принадл. No (а+в штрих) = (а+в)штрих)

т.е если известна сумма 3+4, то для нахождения суммы 3+5 достаточно рассмотреть число (3+4);

Числоа+б называется суммой чисел а и б, сами числа а и б - слагаемые.

Следствие. - Из аксиом 1 и 2 следует, что для любого а принадл. No (а штрих =а+1)

Составим таблицу сложения целых неотрицательных чисел. Сначала установим как прибавлять 0 к любому числу. Затем как любое число к 0. Потом как прибавлять 1 к любому числу и как прибавлять любое число к 1.

а) 0+0=0 (по акс. 1), 1+0=1, 2+0=2

б) 0+1 (по акс. 2) = 0+0 штрих = (0+0) все это штрих = 0 штрих = 1

0+2 = 0+1 штрих = (0+1) все это штрих = 1 штрих = 2

в) 1+1= (1+0) все это штрих = 1 штрих = 2

1+2= (1+1) все это штрих= 2 штрих = 3

г) 2+0= 2

2+1= 2+0 штрих=(2+0) все это штрих=2 штрих=3

Теорема. Сложение на множестве No коммуникативно, т.е для любого а, б принадл. No (а+б=б+а)

Теорема. Сложение ассоциативно, т.е для любого а, б, с принадл. No ((а+б)+с=а+(б+с))

Вопрос №11. Умножение целых неотрицательных чисел. Умножением целых неотрицательных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве N(0) и удовлетворяющая аксиомам: Аксиома 1: (¥ а€No )(а*0=0) Аксиома 2  (¥a,b€No)(a*b'=a*b+a) Число (a* b) называется произведением, а а и в -множители Теорема. Умножение целых неотрицательных чисел существует и оно единственное. Составим таблицу умножения. Рассмотрим, как умножается любое число на 0 и 0 на любое число. Затем, Как умножается любое число на 1 и 1 умножается на любое число. А) 0*0=0, 1*0=0, 2*0= 0.... Б) 0*1=0*0'=0*0+0=0+0=0 0*2=0*1'=0*1+0=0+0=0... В) 1*1=1*0'=1*0+1=0+1=1... Г) 2*1=2*0'=2*0+2=0+2=2 Теорема.  Умножение на множестве No коммутативно, то есть (¥a,b€No)(a*b=b*a) Теорема.  Умножение относительно сложения дистрибутивно. (¥a,b,c €No)(a*(b+c)=a*b+a*c Теорема. Умножения ассоциативно. (¥a,b,c€No)((a*b)*c=a(b*c)) Теорема. (¥a,b,c€No)(a=b,ззначит а*с=b*c)

Вопрос №12. Отношение порядка на множестве N0

Будем говорить, что а<в, если существует число к≠0, то а+к=в.

Если а< в, то говорят так же, что в>a

Для обозначения дизъюнкции а <в или а = в используют запись а≤ в.

Аналогично а≥ в заменяет запись а >в или а=в.

Теорема: Для любого а из мн-ва N0, а меньше а'(¥ а € N0)(а<a´)

a´=а+1, а<a´, т.к существует (Ɉ) к=1, такое что а+1=а´(по опред.)

Следствия:

1. 0<1<2<3<…

2. 0- наименьшее число в мн-веN0

3. 1-наименьшее число в мн-веN

Теорема:Для любых чисел а и в из мн-ваN0 имеет место точно одно из трех соотношений: а<b, a=вилиа>в.

Теорема: Отношение меньше на мн-веN0 обладает свойством транзитивности. (¥ а,в,с €N)((а<b) и (в<c)=>a<c), таким образом отношение на мн-веN0 яв-ся отношением строгого линейного порядка, а N0яв-ся линейно-упорядоченным мн-вом.

Т:1) (¥ a,в,c € N0) (a<в =>a+b<в+c)

2) (¥ a,в,c € N0) (a<в =>a*c<в*c)

Т: 1) (¥ a,в,c € N0) (a+c=в+c =>a=в)

2) (¥ a,в,c € N0) ( ac=вc =>a=в)

3)(¥ a,в,c € N0) (a+c<в+c =>a<в)

4)(¥ a,в,c € N0) (ac<вc =>a<в)

5) (¥ a,в,c,d € N0) (a<в) и (c<d) =>a+c<в+d

6) (¥ a,в,c,d € N0) (a<в) b (c<d) => ac<вd

Док-во 3 формулы: (¥ a,в,c € N0) (a+c<в+c =>a<в)

Пусть a+c<в+c

Предположим, что а=в, тогда по теореме а+с=в+с – противоречит условию =>a≠в

П редположим, что a>в => (по предыдущей теореме) а+c>b+c–противоречит условию =>a>в.

a≠в

a>d=>a<в

Вопрос №13. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел

Разностью чисел а и в € N0 называется число с € N0, удовлетворяющее условию в+с=а, обозначаютс=а-в, числоа называют уменьшаемым, число в – вычитаемым.

Операцию нахождения разности называют вычитанием.

Теорема: Разность чисел а и в из N0 существует тогда, когда в ≤ а.

Правило вычитания числа из суммы:

(а+в)-с=(а-с)+в, если а ≥ с

(а+в)-с=а+(в-с), если в ≥ с

Правило вычитания суммы из числа:

а-(в+с)=(а-в)-с

Правило вычитания числа из разности:

(а-в)-с=а-(в+с)

Правило вычитания разности из числа:

а-(в-с)=(а+с)-в

а-(в-с)=(а-в)+с, если а>b

Правило прибавления разности к числу:

а+(в-с)=(а+в)-с

Опр-ие: Частным чисел а и в из N0 называется число с € N0, удовлетворяющий условию с*в=а, обозначают с=а:в.

Число а называют делимым,в– делителем.

Теорема: Деление на ноль невозможно.

Док-во: Пусть даны числа а и в €N0,пустьа≠0,в=0.

Предположим, что частное а:в существует => (по опред. частного) Ɉ с, в*с=а, т.е0*с=а, но 0*с=0 =>а=0. Получили противоречие с условием, т.ка≠0 (по усл.) => предположение неверно =>а:в не существует.

Пустьа=0, в=0.

Предположим, что а:в существует => Ɉ с такое, что в*с=а, т.е0*с=0.

Последнее равенство верно для любого с, т.ес может быть любым числом, т.е частное а:в может быть любым числом. Это противоречит определению частного =>предположение неверно.

Правила, связывающие деление с другими операциями:

1. (а+в):с=а:с+в:с

2. (а-в):с=а:с-в:с

3. (а*в):с=(а:с)*в, если а:с

(а*в):с=а*(в:с), если в:с

4. а:(в*с)=(а:в):с

а:(в*с)=(а:с):в

5. а*(в:с)=(а*в):с

а*(в:с)=(а:с)*в

Пр: Известно, что 18:18=19:19

Проделаем следующие операции: 18(1:1)=19(1:1), 1:1=1

Получаем, что 18=19

Как известно, не существует такого числа, которое бы являлось частной чисел 53 и 17, но существуют числа 3 и 2, такие что 53=3*17=2.

Определение: Разделить с остатком натур. число а на натур. число в значит найти такие числа q и r € N0, что а=в*q+r, где 0 ≤ r<в, число qназывают неполным частным, а r - остатком.

Вопрос №14. Теоретико множественный подход построению мн-ва целых неотр-х чисел. Истр-ие сведения. Понятие нат.числа и нуля.

Понятие натурального числа возникло из практических потребностей человека и складывалось постепенно.

На первом этапе для подсчета предметов использовались пальцы. Когда предметов было много стали использовать предметы посредники(камешки, ракушки).

Если требовалось сравнить два стада по кол-ву голов, поступали следующим образом: устанавливали взаимно-однозначное соответствие между мн-вом голов в первом стаде и мн-вом ракушек, а затем между мн-вом ракушек и мн-вом голов во втором стаде.

Если ракушки оставались, то говорили, что в первом стаде голов больше и т.д.

Оперируя предметы посредники, человек стал отвлекаться от природных элементов, так возникло представление о натуральном числе – это был важнейший этап становления математики. Люди научились не тольно называть числа, но и записывать их, выполнять действия между над ними и изучать их свойства.

Рассмотрим построение мн-ва натур. Чисел на основе теории мн-в. Создатель этой теории Георг Кантор.

Как известно, два мн-ва А и В называются равномощными (А~ В), если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Если А~В, то m(А)=m(А), m(А) кол-во элементов в А.

Если мн-во конечное, то вместо термина «равномощные» употребляют термин «равночисленные»

Мн-во называется конечным, если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству.

Отношение равномощности на множества всех конечных множеств обладает след. Свойствами: 1. Рефлективность (А~А)

2. Симметричность (А~B) =>B~A)

3. Транзитивность (A~B,B~C=>A~C)

Таким образом отношение равномощности яв-ся отношением эквивалентности и разбивает конечные мн-ва на классы эквивалентности

В один и тот же класс входят мн-ва самых различных. Общее для них яв-ся только св-во равносильности

ОПР Нат. Числом наз-ся общее свойство класса не пустых конечных равномощно друг другу мн-в.

Напр. Число 5 означает не пять пальцев, не 5 календарных дней, а то общее св-во, которым обладают эти мн-ва. Т.е. их количественный характер .Число 0 будет соответствовать пустому множеству 0=m(не равно 0). m-это численность .

Присоединим к пустому мн-ву А* еще один элемент , получим мн-во А**

ОПР Отрезком кат-ого ряда Nа наз-ся мн-во нат.чисел не превосходящих числа а. Пример N9= 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Перечислим св-ва отрезков нат.ряда 1. Любой отрезок нат.ряда Nа содержит единицу 2. Если число в пренадлежит Nа и в не равно а. то в + 1 принадлежит Na 3. Мн-во А наз-ся конечным , если оно равномощно некоторому отрезку Na нат.ряда