Принципы выбора оценок погрешностей

6.3. Систематическая составляющая погрешности

Источниками систематических составляющих погрешностей измерения ("систематических эффектов") могут быть все его компоненты - неадекватная модель объекта измерения, метод измерения, средства измерений и оператор.

Постоянные инструментальные систематические погрешности выявляют посредством поверки.

Поправка численно равна выявленному значению систематической погрешности и противоположна ей по знаку. Исправленный результат измерения получают алгебраическим суммированием результата наблюдения и поправки.

Методы устранения систематических погрешностей

6.4. Случайная составляющая погрешности

Когда при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины получают результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей ("случайных эффектов").

Каждая такая погрешность возникает вследствие вариабельности процесса измерения, обусловленной одновременным воздействием на результат наблюдения многих непредсказуемых возмущений, а поэтому и сама (погрешность) является случайной величиной.

Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основе этих закономерностей дать количественные оценки результата измерений и случайной составляющей его погрешности.

Свойства случайной величины описывается функцией распределения F(x), которая определяет вероятность того, что случайная величина x будет меньше x₁:

F(x) = P{x<x₁}.

Функция распределения – неубывающая функция, определённая так, что F(-)= 0 и F(+)= 1. Наряду с функцией распределения F(x), называемой интегральной или кумулятивной, широко применяют дифференциальную функцию f(x), которую обычно называют плотностью распределения вероятностей:

.

Функция f(x) всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде

Это означает, что площадь под графиком кривой f(x) всегда равна единице.

В метрологической практике чаще всего имеют дело с нормальным и с равномерным законами распределения погрешностей.

В нормативной метрологической документации в качестве модели распределения случайной составляющей погрешности принимается нормальное распределение, а модели неисключенной систематической составляющей - равномерное распределение.

Для нормального распределения имеем:

; .

Здесь:

- параметр D = ² - дисперсия,

- среднее квадратичное отклонение,

m_x- математическое ожидание случайной величины (истинное значение измеряемой величины при отсутствии систематических погрешностей).

В измерительном эксперименте для выборки (группы из n наблюдений) случайных величин x_i, распределенных по нормальному закону, аналогами теоретических параметров m_x и  являются среднее арифметическое выборки (координата центра распределения) и среднее квадратичное отклонение выборки (по международной терминологии – стандартное отклонение) S(x):

(6.1); (6.2)

Вычисление F(x) при некотором фиксированном x₁ даёт вероятность P{x<x₁} = P₁. При использовании графика f(x) для вычисления этой величины нужно найти площадь под кривой, расположенную левее точки x₁(рис. 6.1).

Рис. 6.1. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределения случайной величины

Предельная погрешность _m - погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Такая оценка погрешности правомерна только для равномерного распределения, где границы чётко выражены и существует такое значение _m, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения.

Как уже отмечалось, для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ результата измерения используют различные варианты: предельная погрешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона распределения.

Интервал с границами x(P) называют доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующую ему вероятность P_Д – доверительной вероятностью. При оценке случайной погрешности доверительными границами необходимо указывать значение принятой доверительной вероятности (например, 0,5В при P_Д = 0,95).

Доверительные границы случайной погрешности x(P), соответствующие доверительной вероятности P_Д, находят по формуле:

x(P) = t·,

где t - коэффициент, зависящий от P_Д и вида закона распределения.

Более универсальной и информативной является квантильная оценка. Площадь под кривой плотности распределения погрешностей делят вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называют квантилями. Квантильная оценка погрешности представляется интервалами от −x(P) до +x(P), на которых с заданной вероятностью P встречаются P· 100% всех возможных значений случайной погрешности.

На графике нормального распределения погрешностей по оси абсцисс отложены

интервалы с границами;2; 3

Рис. 6.2. Оценка границ доверительного интервала

Для оценки границ доверительного интервала при малом числе измерений (n30) одной и той же величины используют формулу

,

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от значения доверительной вероятности и числа измерений n.

При увеличении числа измерений распределение Стьюдента приближается к

нормальному распределению.

.