Математические модели на микроуровне

Модели на микроуровне используются для исследования напряженного состояния деталей конструкции и для расчетов их на прочность.

Напряженное состояние деталей конструкции в зависимости от геометрии исследуемого узла, вида приложенной нагрузки и свойств материала описывается дифференциальными уравнениями различного вида. Любое из этих уравнений может быть получено из общего квазигармонического уравнения

(13.4)

где , , - пространственные координаты; - искомая непрерывная функция; , , - коэффициенты; - внешнее воздействие.

Точное решение краевых задач получают только в частных случаях. Поэтому реализация таких моделей заключается в использовании различных приближенных моделей. Широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток. Одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР является метод конечных элементов.

Математические модели на макроуровне

Большинство технических подсистем характеризуется фазовыми переменными. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в ММ технической системы. Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выражающих их уравнений оказывается одинаковой. Ниже приводится в качестве примера электрическая подсистема.

Электрическая подсистема

Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.

1. Уравнение сопротивления (закон Ома) , где - электрическое сопротивление.

2. Уравнение емкости , где - электрическая емкость.

3. Уравнение индуктивности , где - электрическая индуктивность.

Математические модели на метауровне

Математические модели в технологических системах довольно разнообразны.

Математические модели с использованием целочисленного программирования

Для создания технологических структур из РТК необходимо приобрести n PTK для участка. Для этого выделен фонд в сумме рублей. Стоимость РТК -гo типа , а производительность . Требуется выбрать РТК, обеспечивающие максимальную суммарную производительность в пределах установленного денежного лимита . Математическая модель:

(13.5)

где ; ; ; - целые числа.

Решение ведется методом ветвей и границ.

Если отбросить требования целочисленности, переменные , изменяются непрерывно на отрезке . Решение такой непрерывной задачи будет верхней границей (так как определяется максимум) множества значений целевой функции на соответствующем подмножестве решения. Алгоритм решения непрерывной задачи состоит в следующем. Упорядочим коэффициенты в порядке убывания величин и соответственно этому порядку пронумеруем переменные и параметры задачи.

Процедура разбиения (методом ветвей и границ) допустимого множества , задаваемого ограничениями, такова. Разбивают на два подмножества и . Первому подмножеству принадлежат все решения с , а второму - с . Далее каждое из подмножеств и опять разбивают на два: в первом , во втором и т. д.

На каждом шаге очередного разбиения выбирают подмножество, которому соответствует максимальное значение оценки. Поиск решения заканчивают, если на некотором шаге получают допустимое решение значения целевой функции, на котором шаг будет наибольшим по сравнению с оценками для всех подмножеств - кандидатов на разбиение.