5.2 Тұрақты электр өрісі 2 жағдайда туындауы мүмкін:
Қозғалмайтын зарядтың маңында
Стационар қозғалатын зарядтың айналасында
Бірінші жағдайда ток жоқ, мұндай өріс электростатикалық өріс деп аталады. Ал, екінші жағдайда кеңістіктің барық нүктелерінде ток тығыздығы уақытка тәуелді емес,бірдей,мұндай өріс-стационар электр өрісі деп аталады. Стационар электр өрісі үшін 3 және 4 дифференциалдық теңдеулермен қатар мына интегралдық өрнекті де жазуға болады:
(5.5)Бұл
теңдеу Гаусс (Остроградский
Гаусс)
деп аталады.
Электростатикалық потенциалы үшін теңдеу мына түрде жазылады:
(4.7)-өрнектен:
=-
,
Стационар өріс үшін :
=0,
=-
(5.6)-өрнек
математикада Пуассон өрнегі деген атпен
беріледі. Бұл өрнектін жалпы шешімін
табу үшін оның дербес шешіміне сәйкес
келетін мынадай бір типті теңдеуді
қосып жазуға болады:
Лаплас
теңдеуі
5.3.Практикада нүктелік заряд деген модель жиі қолданылады. Нүктелік заряд:
1.
Өрісі қарастырылып отырған нүктеге
дейін салыстырғанда өлшемін елемеуге
болатын зарядталған дене. 2. Зарядталған
дененің туғызатын өрісін анықтау кезінде
оның бірлік көлемінің (көлем элементінің)
зарядын айтады.Нүктелік зарядтың
өрісінің потенциалы мен кернеулігін
осы уақытқа дейін қарастырдық,
электростатикалық өріс үшін негіз болып
табылатынекі нүктелік зарядтың өзара
әсерлесу заңын – Кулон заңын Максвелл
теңдеулерінен қорытып алған едік.Кулон
заңы былайша жазылады:
(5.8)Мұндағы:
– Кулон тұрақтысы деп аталады.Электростатикалық
өрістің кернеулік векторының анықтамасына
сәйкес, 
(5.9)Стационар
өріс үшін:
, 
(5.10)
(5.9)
(5.10)
қойсақ,
теңдіктің
екі жағында
ға көбейтейік
-
интегралдайық,,
,
(5.11)Сонымен,
5.11 өрнек электростатикалық өрістің
потенциалы болып табылады. Интеграл
тұрақтысы С ны табу үшін келесі нормалау
шартын пайдаланамыз:
Зарядталған
денелер жүйесі үшін егер заряд тығыздығы
үздіксіз болса потенциал:
(5.12)
Ал
кернеулік
5.4.Кеңістіктің қандай да бір шекті көлемінде үздіксіз таралған зарядтар жүйесінен алыс қашықтықтағы өрісін қарастырайық:
Бұл жағдайда өрістің патенциалы мен кернеулігінің өрнектері жуықтап алыныды және 1 немесе 2 параметірінің көмегімен жүйені сипаттайды.
Патенциалдың
жуық мәнін алу үшін 5.12 теңдеудігі
функциясын
шамасының дәрежесі бойынша қатарга
жіктейміз: жазуға ыңғайлы болу үшін x
, z
деп
белгілеп, ал функцияны
деп белгілеп Тейлор қатарына жіктейміз:
Осы
қатарды 1,2 теңдеудің 1/не қойсақ:
+
Интеграл
белгісінің сыртына идексінде 0 белгісі
жоқ, яғни, интегралдың айнымалысы
болмайтын шамаларды шығарайық:
-
d
+
*
5.13 теңдеудің 1ші құраушысы жүйе патенциалы үшін 0-дік жуықтау д.а
Ал, 5.13-теңдеудің 2ші құраушысы-дипольдік жуықтау д.а.Оны век-қ түрде былайша жазылады:
K
grad
Мұндағы:...
, Егер жүйе n нүктелік зарядтан тұрса,
онда дипольдік момент:...
5.13-теңдеудің 3ші құраушысы патенциалдың квадрупольдік жуықтауы деп аталады.
Лекция 6. Электростатикалық өрістің жұмысы мен энергиясы.
6.1. Сыртқы электростатикалық өрістегі зарядтар жүйесі. Жұмыс және потенциалдық өріс.
6.2. Сыртқы электростатикалық өрістегі қатаң зарядтар жүйесіне әсер ететін күштер.
6.3. Зарядтардың әсерлесу энергиясы және электростатикалық өріс энергиясы.
6.1.Электростатикалық
өрістің энергетикалық қатынасына
тоқталайық. Өріске
енген зарядтардың үстінен өріс тарапынан
жасалатын жұмысты анықтайық.q зарядтардың
үстінен электростатикалық өрістің
атқаратын элементар жұмысын
десек,
,
Мұндағы:
,
,
Сонда
(6.1)
(6.1*)
Электростатикалық
өрістің q
зарядты орынауыстырғанда өрістің
атқаратын жұмысы.Бұл өрнектен
электростатикалық өрістің q заряд
үстінен атқаратын жұмысы зарядтардың
бастапқы және соңғы нүктесіндегі
потенциалының айырмасымен анықталады
және заряд қозғалысының траекториясының
түріне тәуелді болмайды.(6.1*)
өрнекке сәйкес өрістің берілген
нүктесіндегі потенциалдық энергиясы
деген түсінік енгізіледі.
(6.2)
- потенциалдық энергия.Сыртқы
өрістегі зарядтар жүйесі үшін потенциалдық
энергия былайша жазылады
(6.3)
6.2.
Кулон
заңына сәйкес
(6.4)
Нүктелік
жүйенің жуықталған жағдайына сәйкес
(6.5)
-
дипольдік моментімен сипатталалатын
электр жағынан бейтарап жүйеге әсер
ететін күшті табу үшін
өрнегін
пайдаланамыз.
Потенциалдық
өріс күштері үшін
шарты
орындалатындықтан,
,Олай
болса
Бұдан
біздің жағдай үшін,
,Есептеу
кезінде II қосымшадағы 29 өрнекке сәйкес,
Осығаан
сәйкес және
-ның
-ға
тәуелді емес екенін ескерсек
,
,
(6.6)
6.3
Зарядтардың әсерлесу энергиясы ж/е
электростатикалық қріс энергиясы.Нүктелік
зарядтар жүйесінің өзара әсерлесу
энергиясын яғни жүйенің потенциалдық
энергиясын қарастырайық. Жүйенің
жекеленген зарядтарының әсерлесу
энергиясы
;
(6.7)орнына қойсақ ;
6.8
жүйедегі зарядтардың өзара әсерлесу
энергиясы.
Егер
заряд V көлемге үздіксіз таралған болса
6.8 өрнек келесідей интегралдық өрнекке
алмастырылады.
(6.9)
(6.9*)
(6.10)Бұл өрнекті былайша қарастырайық.
Өрнетен
B=0
екенін ескерсек ,
;
;
,
сонымен,
,
,
сонымен,
зарятдаржүйесінің потенциалды энергиясы
, сол зарятдар жүйесі тудыратын өрістің
энергиясына тең екендігі дәлелденді.
№7лекция
Вакуммдегі магнитастатикалық өріс.
7. 1 Магнитостатикалық өріс теңдеудің потенциалдар арқылы жазылуы?
7 .2 Вектор потенциал және магнитостатикалық өріс индукциясы?
7.1 Ток тығыздығы уақытқа байланысты өзгермей қалатын, яғни тұрақты жылдамдықпен қозғалатын зарядтың айналасында пайда болатын өріс магнитатикалық өріс деп аталады.
Магнитастатикалық
өріс үшін Максвелл теңдеулері мына
түрде жазылады:
=0
(7.1)
Ал
потенцал арқылы жазылуы:
(7.2)Мұндағы
:
Бұл
теңдеудің шешімі мына түрде
жазылады:
(7.3)(7.3)өрнектің
жалпы шешімі Лаплас өрнегімен жазылады.
Яғни
Сонымен
қатар, магнитастатикалық өріс үшін
Максвелл теңдеуінің интегралдық түрде
жазылуы қолданылатын
I-контурды
қиып өтетін ток.
7.2
(7.3)-өрнекті
пайдалана отырып құйынды магнитастатикалық
өрістің индукциясын табайық ол үшін
келесідей белгілеу енгізейік
→индукциялық
тұрақты.Осы индукциялық тұрақтының К
тұрақтымен байланысы мына түрде
жазылады:
,
К-кулон тұрақтысы.
,
Осыны
пайдаланып ,
Сонда:
Бұл (7.4) өрнек Био-Савар Лаплас өрнегі болып табылады және магнитастатикалық өрістің кеңістіктің кез келген нүктесіндегі индукция векторын анықтауға мүмкіндік береді.