Решение типового примера.

Задача 1. Среди 8 лотерейных билетов имеется 5 билетов с выигрышем. Наудачу покупают 3 билета. Какова вероятность, что

а) все три билета выигрышные,

б) два билета из трех выигрышные.

Решение:

Для вычисления вероятности используем классическое определение вероятности:

Вероятность события А есть отношение числа случаев, благоприятствующих появлению события А, к общему числу всех возможных случаев в данном опыте.

.

Обозначим события:

а) А – все три наудачу купленные билеты выигрышные.

Общее число возможных случаев в данном опыте равно числу способов, которыми можно извлечь три билета из 8, при этом комбинации, составленные из 8 по 3 билета, есть сочетания, т.к. отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний вычисляют по формуле:

,

где

В нашей задаче

Число благоприятствующих случаев есть число комбинаций из 5 билетов по 3, это число сочетаний из 5 по 3 :

Замечание: Можно предложить второй способ решения этой задачи, используя теорему умножения вероятностей для зависимых событий.

,

где - условная вероятность события А₂ при условии, что произошло событие А₁.

- условная вероятность появления события А₃ при условии, что произошли события А₁ и А₂.

В нашей задаче:

А₁ – первый купленный билет выигрышный.

А₂ – второй купленный билет выигрышный.

А₃ – третий купленный билет выигрышный.

Тогда . События А₁, А₂, А₃ зависимые.

Как видим, ответы совпали.

б) В – два из трех наудачу купленных билетов выигрышные.

Число всех возможных случаев:

Число благоприятствующих событию В случаев по правилу произведения: . Здесь есть число вариантов отбора выигрышных билетов; - число вариантов отбора невыигрышных билетов, тогда: .

Задача 2. Два студента независимо один от другого ищут книгу в магазинах. Вероятность того, что книга будет найдена первым студентом, равна 0,6, а вероятность того, что вторым – 0,8. Найти вероятность того, что:

1. оба студента найдут нужную книгу;

2. ни один студент не найдет нужную книгу;

3. только один студент найдет нужную книгу;

4. хотя бы один из студентов найдет нужную книгу.

Решение:

1) Обозначим события:

А – оба студента нашли нужную книгу,

А₁ – первый студент нашел книгу,

А₂ - второй студент нашел книгу.

Тогда событие А заключается в том, что и первый студент нашел книгу, и второй студент нашел книгу, т.е. имеем произведение событий: А=А₁·А₂, по условию задачи А₁ и А₂независимы, поэтому используем формулу умножения вероятностей для независимых событии:

В нашей задаче: , поэтому

2) В - ни один из студентов не нашел нужной книги.

Событие В состоит в том, что оба студента не нашли нужной книги.

Обозначим:

- первый студент не нашел книгу,

- второй студент не нашел книгу.

Тогда , получим .

Событие - противоположное по отношению к событию , поэтому:

Аналогично:

Тогда

3) С - только один из студентов найдет нужную книгу.

+ и –

или

– и +

а)

Событие С состоит в следующем: первый студент найдет книгу и одновременно второй студент не найдет книгу или первый студент не найдет книгу и второй студент одновременно найдет нужную книгу, т.е. это событие можно представить следующей схемой (а),

отсюда событие С представим следующим образом: .

+ и +

или

– и +

или

+ и -

б)

Используя теорему умножения для независимых событий и теорему сложения вероятностей для несовместных событий:

получим:

4) D - хотя бы один из студентов найдет нужную книгу.

Вероятность этого события можно найти различными способами.

I способ. Событие D состоит в том, что нужную книгу найдут оба студента или один из них. Это событие можно представить в виде схемы (б).

Отсюда:

II способ. Событие D противоположно событию В, т.е. ,

отсюда: .

III способ. Используем теорему сложения вероятностей для совместных событий:

В нашем случае:

Как видим, ответы совпали при решении задачи различными способами.

Задача 3. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 30%, второго сорта – 50%, третьего – 20%. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта , равна 0,8; второго – 0,6; третьего – 0,4.

Найти вероятность того, что: 1) наугад взятое зерно взойдет, 2) это будет зерно первого сорта.

Решение:

Если некоторое событие А совершается с одним из несовместных событий Н₁, Н₁, …, Н_n, которые образуют полную группу и называются гипотезами, то для определения вероятности этого события используют формулу полной вероятности:

,

где - вероятность гипотезы ;

- условная вероятность события А.

В нашей задаче обозначим события:

1. А – взойдет наугад взятое зерно.

Гипотезы: Н₁ – взято зерно I сорта,

Н₂ – взято зерно II сорта,

Н ₃– взято зерно III сорта.

Т.к. зерно первого сорта составляет 30%, то = 0,3.

Аналогично: = 50% = 0,05; = 20% = 0,2.

Гипотезы составляют полную группу событий, поэтому сумма вероятностей гипотез должна быть равна 1, проверим:

0,3+0,5+0,2 = 1

Найдем условные вероятности:

= 0,8- вероятность того, что взойдет взятое зерно первого сорта, = 0,6 - вероятность того, что взойдет взятое зерно второго сорта, = 0,4 - вероятность того, что взойдет взятое зерно третьего сорта.

Используем формулу (10.8), в которой будет три слагаемых:

P(A)= 0,30,8+0,50,6+0,20,4= 0,62

Для определения вероятности события Н_i при условии, что событие А произошло, используют формулу Байеса:

В нашем случае:

Тема 2. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Асимптотические формулы Лапласа, Пуассона (задачи 21-40). Перед выполнением задач необходимо изучить вопросы 1.3 первого раздела дисциплины и разобрать решение задач 4,5,6.

21. Каждый пятый клиент банка приходит в банк брать проценты с вклада. Сейчас в банке ожидают своей очереди обслуживания шесть человек.. Найти вероятность того, что из них будут брать проценты: а) четыре человека;

б) менее двух.

22. Прибор состоит из шести узлов. Вероятность безотказной работы для каждого узла равна 0,7. Найти вероятность того, что из шести узлов выйдут из строя: а) два; б) менее двух узлов.

23. Студенты высадили семь деревьев. Вероятность, что каждое дерево приживется, равна 0,6. Найти вероятность того, что из семи деревьев приживутся: а) пять; б) не менее шести деревьев.

24. Некоторая фирма в долгосрочном периоде может войти на рынок с вероятностью 60%. Определить вероятность того, что в данный период из семи подобных фирм: а) четыре фирмы преодолеют «барьер вхождения»; б) преодолеют не более двух.

25. Всхожесть семян некоторой культуры составляет 90%. Найти вероятность того, что на опытном участке из шести посеянных семян взойдут: а) четыре; б) более четырех.

26. Вероятность появления бракованной детали равна 0,006. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей бракованных окажется: а) три; б) не более двух.

27. Книга издана тиражом 1000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки, равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж содержит неправильно сброшюрованных книг: а) ровно пять; б) не менее двух.

28. Вероятность банкротства некоторого предприятия в сфере гостиничного бизнеса равна 0,0005. Определить вероятность того, что среди 2000 таких предприятий обанкротятся: а) ровно два; б) более двух.

29. Известно, что на поле у 2% кустов картофеля, стебли поражены фитофторой. Найти вероятность того, что из 300 кустов картофеля фитофторой будут поражены: а) четыре куста: б) менее двух кустов.

30. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,005. Найти вероятность того, что после облучения из 400 бактерий останется: а) пять бактерий; б) более двух бактерий.

31-40. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна p. Какова вероятность, что при n испытаниях успех наступит: 1) равно m₁ раз, 2)не менее m₁ раз и не более m₂ раз.

№	n	p	m1	m2
31	225	0,2	150	200
32	810	0,4	340	600
33	300	0,3	110	230
34	100	0,1	60	80
35	300	0,25	175	290
36	225	0,2	145	220
37	600	0,4	210	450
38	400	0,5	145	372
39	625	0,64	300	530
40	150	0,6	75	125