5. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

 В силу случайного отбора элементов в выборку случайными являются также оценки а и b истинных коэффициентов регрессии  и  теоретического уравнения регрессии. При этом оценки тем надежнее, чем меньше их разброс вокруг  и  , то есть чем меньше дисперсия D(a) и D(b) оценок. Надежность получаемых оценок тесно связана с дисперсией случайных отклонений  . Фактически  является дисперсией переменной Y относительно линии регрессии  .

Корень квадратный из необъясненной дисперсии называется стандартной ошибкой оценки (стандартной ошибкой).  .

и  называются стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

Объяснение данных соотношений имеет наглядную графическую интерпретацию. Коэффициент b определяет наклон прямой регрессии. Чем больше разброс Y вокруг линии регрессии, тем больше ошибка определения наклона прямой регрессии.

Дисперсия свободного члена уравнения регрессии  пропорциональна  . Действительно, чем сильнее меняется наклон прямой, тем больше разброс значений свободного члена, характеризующего точку пересечения этой прямой с осью Oy.

6. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

При проведении статистического анализа перед исследователем зачастую возникает необходимость сравнения эмпирических коэффициентов регрессии и с некоторыми теоретически ожидаемыми значениями и этих коэффициентов.

Данный анализ производится в рамках статистической проверки параметрических гипотез.

Показано, что в предположении нормальности распределения при данном значении , оценки и являются несмещенными оценками и соответственно. Их выборочные распределения связаны с распределением (Стьюдента), которое имеет степени свободы.

На первом этапе анализа наиболее важной является задача установления линейной зависимости между переменными и . С этой целью сформулируем гипотезы:

линейная зависимость отсутствует, коэффициент угла наклона прямой незначимо отличается от нуля;

линейная зависимость значительная и коэффициент угла наклона не равен нулю.

При проверке гипотезы воспользуемся статистикой:

Аналогичным образом проверяется гипотеза о статистической значимости нулю коэффициента регрессии (свободный член линейного уравнения равен нулю):

7. Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии.

Rоэффициенты регрессии и являются нормально распределенными СВ, с соответствующими дисперсиями, т.е. . Тогда следующие статистики

имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Тогда, для построения доверительного интервала с заданной доверительной вероятностью найдем по статистическим таблицам критические значения:

Получим:

(2)

Если разрешить неравенства в формулах (2) относительно неизвестных коэффициентов регрессии и то получим соответствующие доверительные интервалы

(3)

Которые с доверительной вероятностью накрывают определяемые параметры (теоретические коэффициенты регрессии).

Особый интерес представляет выборочное распределение при конкретном значении . Так как ведет себя как СВ, распределенная по нормальному закону, для нее тоже можно построить доверительный интервал. Соответствующая статистика имеет вид:

В выражении (4) величина это выборочное стандартное отклонение наблюденного значения от предсказанного , равное

. (5)

Т.о. формулы (3 – 5) дают возможность построить доверительные интервалы для неизвестных параметров , и , по оценкам и .