Задание 7

Решить задачу навигации при условии, что собственная скорость лодки постоянна, а скорость реки задается указанным ниже равенством. Предполагая, что , построить график движения лодки, при котором переправа осуществится за минимальное время.

1. 

2. 

3. .

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. .

23. .

24. .

25. .

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задание 8

Найти экстремали следующих вариационных задач с подвижными границами.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задание 9

Найти решение следующих изопериметрических задач.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задание 10

Сформулировать следующие задачи как задачи на отыскание экстремумов некоторых интегральных функционалов и решить их методами вариационного исчисления.

1. Найти замкнутую линию наименьшей длины, ограничивающую заданную площадь S.

2. Найти замкнутую линию заданной длины L, ограничивающую наибольшую площадь.

3. Даны два взаимно перпендикулярных луча ОА и ОВ с общей вершиной О. Среди кривых заданной длины L, концы которых лежат на ОА и ОВ, найти такую, которая отсекает от угла АОВ максимальную площадь.

4. Даны два взаимно перпендикулярных луча ОА и ОВ с общей вершиной О. Среди кривых с концами на ОА и ОВ, отсекающих от угла АОВ заданную площадь S, найти кривую наименьшей длины.

5. В равностороннем треугольнике провести кривую заданной длины, которая образовала бы вместе с углом треугольника фигуру наибольшей площади.

6. В равностороннем треугольнике провести кривую наименьшей длины, которая образовала бы вместе с углом треугольника фигуру заданной площади.

7. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, прямо пропорциональной абсциссе точки в каждый момент времени. Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.

8. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , соединяющую начало координат с точкой на прямой , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.

9. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , соединяющую начало координат с точкой на прямой , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.

10. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , соединяющую начало координат с точкой на прямой , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.

11. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , соединяющую начало координат с точкой на окружности , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.

12. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, обратно пропорциональной абсциссе точки в каждый момент времени. Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.

13. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.

14. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, обратно пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.

15. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью (k – постоянный коэффициент). Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.

16. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, (k – постоянный коэффициент). Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.

17. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, (k – постоянный коэффициент). Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.

18. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, (k – постоянный коэффициент). Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.

19. Решить задачу о брахистохроне, если известно, что шарик должен оказаться на некоторой вертикальной прямой.

20. Решить задачу о брахистохроне, если шарик должен финишировать в некоторой точке горизонтальной прямой.

21. Решить задачу о брахистохроне, если шарик должен финишировать в некоторой точке наклонной прямой.

22. Найти геодезические линии прямого кругового цилиндра (геодезической называется линия, соединяющая две данные точки поверхности и лежащая на этой поверхности).

23. Найти геодезические линии шара (геодезической называется линия, соединяющая две данные точки поверхности и лежащая на этой поверхности).

24. Найти кратчайшее расстояние от прямой до поверхности .

25. Найти кратчайшее расстояние от точки до поверхности .

26. Найти кратчайшее расстояние от точки до поверхности .

27. Найти кратчайшее расстояние от точки до кривой .

28. Найти кратчайшее расстояние от точки до кривой .

29. Решить задачу навигации, если второй берег реки прямая, но не параллельная первому берегу.

30. Среди кривых заданной длины , соединяющих точки и , найти ту, у которой центр тяжести лежит наиболее низко.

Учебное издание