Пример полного исследования функционала
Рассмотрим задачу минимизации функционала
на классе функций, удовлетворяющих
условиям:
.
Решение. Проведем исследование по схеме теоремы 3.
Во-первых, составим уравнение Эйлера:
и найдем семейство экстремалей
.
Из них граничным условиям удовлетворяет
одна:
.
Во-вторых, определим знак функции:
.
В-третьих, составим уравнение Якоби
,
дополним его граничными условиями
,
где
,
и найдем решение краевой задачи. Общее
решение уравнения Якоби имеет вид
,
из граничных условий получаем
.Так
как
при
,
то
,
то есть
.
Условие Якоби выполнено.
Таким образом, выполнены все условия теоремы 3, следовательно, в точке функционал имеет минимум.
Список рекомендуемой литературы
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.
Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.
Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.
Задание 11
Найти экстремали следующих функционалов, удовлетворяющих условиям жесткого закрепления. Пользуясь достаточными условиями экстремума, доказать, что на данных экстремалях функционал достигает максимума или минимума.
Учебное издание
Основы вариационного исчисления – III
Методические указания и варианты заданий
для самостоятельной работы студентов III курса
специальностей КМ и ДПМ
Составитель Малыгина Вера Владимировна
Корректор Лыкова Л.В.
____________________________________________________________
Подписано в печать 09.06.08. Формат 60х90/16.
Усл. печ. л. 3,75. Тираж 50 экз.
Заказ 144/2008
____________________________________________________________
Издательство
Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614990, г.Пермь, Комсомольский пр. 29, к. 113.
Тел.: (342) 219-80-33.