Приклади застосування пакетів
Maple дозволяє розв’язувати диференціальні рівняння з кусковими функціями та взагалі надає великий набір інструментів для розв’язання рівнянь різних типів, який представлено зокрема в пакеті DEtools, який можна завантажити командою:
with(DEtools)
В склад пакету також входить консультант з диференціальних рівнянь, який можна викликати командою:
odeadvisor(ODE)
odeadvisor(ODE, y(x), [type1, type2, ...], help),
де
ODE - звичайне диференціальне рівняння
y(x) - функція, що визначається
type1,type2,... - (опційно) множина типів, що класифікуються
help - (опційно) сторінка довідника системи по темі.
Для розв’язання диференціальних рівнянь та їх систем дуже корисним є пакет plots. Однією з найбільш важливих функцій пакету є функція odeplot, що введена таким чином:
odeplot(dsn, vars, range, options)
Параметри
dsn - результат виклику функції dsolve( ... , numeric)
vars - (опційно) осі і функції для зображення
range - (опційно) параметр, що визначає інтервал a..b
options – додаткові опції
Часто розв’язок системи диференціальних рівнянь (що є складною, не піддається для аналітичного розв’язання) зручно представити у вигляді графіку розв’язків та у вигляді фазових портретів.
> with(plots):
> sys:=diff(y(x),x)=z(x),diff(z(x),x)=3*sin(y(x)):
> fcns:={y(x),z(x)}:
> p:=dsolve({sys, y(0)=0, z(0)=1},fcns,type=numeric):
> odeplot(p,[[x,y(x)],[x,z(x)]],-4..4,numpoints=100,color=black);
Часто фазовий портрет дає спеціалісту більше інформації, ніж звичайний розв’язок.
Приклад складної нелінійної системи
На основі системи символьної математики Maple отримані розв´язки задач нелінійної динаміки тіла з нерухомою точкою (сферичного маятника) під дією сил між магнітним диполем на маятнику та двома нерухомими магнітними диполями. Нижче наведено систему нелінійних диференціальних рівнянь, отримано розв’язки та фазові портрети, що ілюструють особливості поведінки системи.
> s:=dsolve({e1,e2,e3,e4,e5,e6,x1(0)=0.1,x2(0)=0,x3(0)=0,n1(0)=0, n2(0)=0.1,n3(0)=0},{x1(t),x2(t),x3(t),n1(t),n2(t),n3(t)},type=numeric):with(plots):
> odeplot(s,[n1(t),n2(t),n3(t)],0..20,numpoints=1000,axes=BOX);
> odeplot(s,[x1(t),x2(t),x3(t)],0..20,numpoints=500,axes=BOX);
Випадок, коли магнітні диполі замінені точковими електричними зарядами.
> s:=dsolve({e1,e2,e3,e4,e5,e6,x1(0)=0.1,x2(0)=0,x3(0)=0,n1(0)=0, n2(0)=0.1,n3(0)=0},{x1(t),x2(t),x3(t),n1(t),n2(t),n3(t)},type=numeric):with(plots):
> odeplot(s,[n1(t),n2(t),n3(t)],0..50,numpoints=3000,axes=BOX);
> odeplot(s,[x1(t),x2(t),x3(t)],numpoints=500,axes=BOX);
