2.6.2. Статистическая обработка результатов испытаний

Структура реальных металлов и сплавов, распределение дефектов в материалах, сварных соединениях неодинаковы даже в пределах одного образца. Поэтому результаты исследований, строго говоря, могут быть различны для разных объемов одного образца. В реальных экспериментах всегда наблюдается определенный разброс экспериментальных результатов. Основные задачи статистической обработки результатов исследований – оценка среднего значения свойств ошибки в определении этого среднего, а также выбор минимально необходимого числа образцов (или измерений) для оценки среднего с заданной точностью.

Рис.2.1 Кривая нормального распределения

Такие задачи являются стандартными для статистической обработки результатов любых экспериментальных измерений. Основные положения методов обработки результатов измерений и оценки их погрешностей сформулированы в ГОСТ 8.207-76 и подробно рассмотрены в различных руководствах. Здесь будут приведены лишь некоторые методы обработки, необходимые в большинстве экспериментов, в частности, практически при любых механических испытаниях материалов и сварных соединений. Особенности обработки результатов усталостных испытаний приведены в соответствующей главе.

Обычно в ходе эксперимента определяют численное

Рис. 2.1. Кривая нормального распределения

значение исследуемого параметра по результатам нескольких измерений. Совокупность из n значений этого параметра для исследуемого образца называется статистической выборкой, которая является частью генеральной совокупности значений параметра, объем которой теоретически бесконечно велик. Объем выборки в экспериментах может меняться в широких пределах от единиц до нескольких десятков и даже сотен измерений, когда испытания проводятся длительное время.

Множество определенных в результате испытаний значений x_i (i = 1, … n ) некоторого параметра или свойства (например, числа твердости или значения ударной вязкости) обычно подчиняется нормальному распределению (рис.2.1). При числе измерений n ≤ 15 проверку нормальности их распределения не проводят. В случае n > 15 ГОСТ 8.207-76

требует выполнения такой проверки с помощью специальных критериев.

П ри нормальном законе распределения n отдельных значений свойства в большинстве случаев рассчитывают как среднее арифметическое

. (2.2)

Прежде чем определять среднее значение, необходимо проверить совокупность полученных данных на присутствие резко выделяющихся результатов экспериментов. Такие результаты следует исключить из дальнейшего рассмотрения.

Для оценки случайной ошибки (погрешности) отдельных измерений определяют их отклонение от среднего в виде дисперсии

²

или среднего квадратичного отклонения (стандартного отклонения)

.

Важной характеристикой точности измерений является также относительная величина среднего квадратичного отклонения – коэффициент вариации %.

Все перечисленные характеристики ошибок измерений еще ничего не говорят о надежности полученных результатов. Наиболее точную оценку величины ошибок дает доверительный интервал или доверительные границы в сочетании с доверительной вероятностью.

Обозначим истинную величину измеряемого свойства через x, погрешность ее измерения через , среднее арифметическое значение, которое мы получим по результатам испытаний, .

Предположим теперь, что вероятность отличия от x на величину, не большую, чем , равна a: .

Вероятность a называется доверительной вероятностью, а интервал значений от до доверительным интервалом.

Уровни доверительной вероятности обычно принимают равными 0,9; 0,95 или 0,99. Величина доверительного интервала определяется средним значением , средним квадратичным отклонением s и критерием Стьюдента t , который зависит от выбранной доверительной вероятности a и числа измерений n:

от до .

Из анализа функции нормального распределения (рис.2.1) следует, что около 66 % всех измеренных величин отклоняются от среднего значения менее чем на s, 95 % - менее чем на 2s, а вероятность появления отклонения от среднего значения на 3s уже пренебрежимо мала (0,003 %). Поэтому доверительные границы погрешности измерения механических свойств при достаточном объеме выборки не превышают 2s и чаще всего принимаются равными 2s .

Помимо доверительного интервала случайной погрешности результата измерения, по ГОСТ 8.027-76 должны быть вычислены доверительные границы неисключенной систематической погрешности. В практике механических испытаний это делается редко, поскольку считается, что неучтенные систематические ошибки переводятся в случайные.

Среднее значение свойства можно определять по разному числу измерений. Естественно, что среднее будет тем ближе к истинному значению определяемой величины, чем больше будет число замеров n. Однако практически увеличивать n невыгодно, и стремятся получить среднее с определенной точностью при минимальном n.

Один из методов определения достоверного среднего при минимальном n базируется на априорном задании возможного разброса в пределах доверительного интервала.

Допустим для примера, что за достоверное среднее значение числа твердости мы считаем нужным принять такую его величину, которая с доверительной вероятностью a = 0,99 не будет отклоняться от больше чем на 50 МПа (последнюю величину выбирают исходя из точности используемого метода). Определив s по ряду измерений n и постепенно увеличивая их число, с помощью специальных таблиц находим такое n, при котором МПа.

Если из предварительных экспериментов известны характеристики точности данного метода испытаний применительно к испытываемому материалу, то минимально необходимое число экспериментов можно определить априори по формуле

, (2.3)

где m – число испытаний в предварительных опытах; - разница между максимальным и минимальным значением результатов предварительных испытаний; - задаваемое с вероятностью P максимальное допустимое отклонение среднего значения от истинного; , где - коэффициент для оценки среднего квадратичного отклонения по числу измерений m (дается в специальных таблицах).

Таким образом, степень надежности определения n по формуле (2.3) зависит в основном от числа m предварительных испытаний.

При решении различных задач часто возникает необходимость сравнения какого-либо свойства разных материалов. При этом надо решить, имеется ли значимая разница между этими свойствами или их величины практически одинаковы с учетом ошибки определения и числа измерений. Иногда число измерений не учитывают, что приводит к неверным выводам. Например, считают незначимой разницу между =10 и =12, поскольку >2. На самом деле разница между средними может быть значимой, если n было достаточно большим.

Сравнение двух средних значений можно проводить с помощью различных статистических критериев. Пусть у нас имеются два средних и , определенных по результатам и измерений со средними квадратичными отклонениями и соответственно. Если объединить все измерения в одну выборку, то среднее квадратичное отклонение единичного значения будет

.

Если при использовании t-критерия Стьюдента

, (2.4)

то оба ряда измерений относятся к одной генеральной совокупности и, следовательно, разница между средними значениями свойства незначима. Если же левая часть в уравнении (2.4) больше правой, то различия между средними не случайны (конечно, с какой-то доверительной вероятностью a, которая определяет и значение t-критерия).

Необходимо отметить, что в последнее время для обработки экспериментальных данных широко используются пакеты прикладных компьютерных программ «statistika» и «Matcad». Применение этих и аналогичных компьютерных программ существенно облегчает и упрощает статистическую обработку результатов исследований и позволяет их представить в любом удобном для исследователя виде. Эти программы, как правило, имеют простой и удобный интерфейс, делающий их доступными для пользователей без специальных знаний в области математической статистики.