Контрольная работа № 4. Теория вероятностей.

Задание 1. Решить задачу.

1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.

2. В каждой из двух урн находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны переложили во вторую наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

3. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым - 0,8, третьим - 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все три стрелка попали в цель.

4. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.

5. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе - 0,95, третье - 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

6. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

7. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

8. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.

9. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляются детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором - 30%, на третьем - 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 - если на втором станке, и 0,9 - если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

10. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

Примечание. В задачах вариантов 4, 7, 8 использовать приложение 1.

Задание 2. Дискретная случайная величина может принимать только два значения: и , причем . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон распределения этой случайной величины.

1.	0,1	3,9	0,09
2.	0,3	3,7	0,21
3.	0,5	3,5	0,25
4.	0,7	3,3	0,21
5.	0,9	3,1	0,09
6.	0,9	2,2	0,36
7.	0,8	3,2	0,16
8.	0,6	3,4	0,24
9.	0,4	3,6	0,24
10.	0,3	3,8	0,16

Задание 3. Случайная величина задана функцией распределения . Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. .

Задание 4. Известны математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины . Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал .

Вариант
1.	10	4	2	13
2.	9	5	5	14
3.	8	1	4	8
4.	7	2	3	10
5.	6	3	2	11
6.	5	1	1	12
7.	4	5	2	11
8.	3	2	2	10
9.	2	5	4	9
10.	2	4	6	10

Примечание. В задании использовать приложение 2.

Методические указания к выполнению

контрольной работы № 3

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида .

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая является решением при каждом фиксированном С из некоторого множества М, и для любого решения существует такое значение С₁ из М, что = при любом х, т.е. любое решение получается из выбором соответствующего С.

Перечислим основные типы уравнений и укажем способы их решения:

1) дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными это уравнение вида:

.

Решается это уравнение делением его обеих частей на и затем интегрированием;

₂₎ однородное дифференциальное уравнение. Функция , называемая однородной степени , если для любого выполняется условие: _.

Дифференциальное уравнение

называется однородным, если функция  однородная нулевой степени. Такое уравнение заменой , где  новая неизвестная функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3) линейное уравнение. Дифференциальное уравнение вида

(2)

_{называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой:} где и  новые неизвестные функции.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Преобразуем наше уравнение следующим образом:

; .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего равенства на получим:

_;

Интегрируя обе части уравнения, получим:

; ;

;

Последнее равенство задает нам решение в виде неявной функции . Обратим внимание на то что, что не все решения задаются указанным равенством. При делении на могли быть потеряны решения и Очевидно (подставьте в уравнение), что является решением, а – нет. Итак, общее решение задается двумя формулами: и .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Преобразуем уравнение к следующему виду:

; .

Если правую часть последнего уравнения обозначить через , то

= = =

Следовательно, рассматриваемое уравнение является однородным.

Положим теперь , или ,тогда . Подставляя в уравнение выражения для у и , получим: ; ;

Разделяем переменные в последнем уравнении, деля его на , и интегрируем полученное равенство:

;

Отсюда , или .

Здесь мы вместо константы для удобства добавили константу . Заменяя на , получим решение:

Последнее равенство может давать не все решения, часть из них могли потеряться при разделении переменных (мы делили уравнение на ). Положим теперь и . Но не является решением уравнения, а из равенства получаем, что , или . Непосредственной подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции являются решениями. В нашем случае все решения задаются тремя формулами:

; и .

Пример. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Решение. Это линейное уравнение, поэтому его общее решение будем искать в виде . Тогда

Подставляя у и в уравнение, получим:

Функцию найдем из того условия, что выражение в скобке в последнем равенстве должно обращаться в ноль:

.

Последнее уравнение неявно задает две серии функций:

Так как нам достаточно взять какое-то частное решение, то положим

В этом случае наше уравнение перепишется так:

_{Учитывая, что} получим общее решение уравнения