4.5. Задание плоскости на эпюре Монжа

Используя точки А, В и С на эпюре Монжа задать плоскость α: тремя точками; точкой и прямой; двумя пересекающимися прямыми; двумя параллельными прямыми; плоской фигурой.

Варианты заданий приведены в табл. 4.

Пример решения задачи приведен на рис. 22, …, 26 для точек А(70;10;5), В(50;40;40) и С(20;20;25)

4.6. Принадлежность прямой и точки плоскости

Задача 1. Задана плоскость и одна из проекций прямой. Достроить недостающею проекцию прямой. Варианты заданий приведены в табл. 5.

Таблица 4

Исходные данные по теме «Задание плоскости на эпюре Монжа»

Вариант	Численные значения координат точек
	А			В			С
	x	y	z	x	y	z	x	y	z
1	5	10	30	35	50	40	70	25	5
2	35	50	45	65	25	5	5	10	35
3	70	25	5	35	50	45	5	10	10
4	40	45	50	15	10	30	75	35	5
5	10	5	35	40	50	55	60	35	10
6	65	30	5	15	10	30	45	65	50
7	15	10	30	40	55	5	70	35	50
8	45	50	15	10	10	35	75	30	60
9	15	55	30	45	5	50	70	35	10
10	10	50	35	40	10	55	75	30	5
11	70	5	35	45	50	55	10	25	10
12	5	35	10	75	15	30	40	60	50
13	45	50	55	10	35	5	65	15	35
14	65	15	35	40	60	50	5	30	10
15	75	5	30	5	40	10	40	60	55

Пример. Заданы плоскость α(А, В, С) и горизонтальная проекция прямой l₁. Определить недостающею проекцию прямой l₂, если известно, что она принадлежит плоскости (l⊂α). Исходные данные приведены на рис. 27, а результат решение на рис 28.

Рис. 22 Рис. 23

Рис. 24 Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27 Рис. 28

Решение:

- преобразуем задание плоскости α(А, В, С) → α(∆АВС);

- выбираем проекции двух точек одновременно принадлежащих заданным плоскости α и прямой 1: (А₁В₁∩l₁=1₁ и А₁С₁∩l₁=2₁);

- по принадлежности точки 1АВ и 2АС определяем недостающие проекции точек 1₂ и 2₂;

- через полученные проекции точек 1₂ и 2₂ достраиваем недостающую проекцию прямой l₂ принадлежащей плоскости α.

Задача 2. Задана плоскость и одна из проекций точки. Достроить недостающею проекцию точки. Варианты заданий приведены в табл. 6.

Пример. Заданы плоскость α(А, В, С) и горизонтальная проекция точки D₁. Определить недостающею проекцию точки D₂ , если известно, что она принадлежит плоскости (D⊂α). Исходные данные А(40;60;5), В(70;30;50), С(10;10;30) и D(5;15;…).

Решение (рис. 29):

- преобразуем задание плоскости α(А, В, С) → α(∆АВС);

Рис. 29

- через известную проекцию точки D₁ проводим проекцию прямой l₁ в предположение, что эта прямая принадлежит заданной плоскости (l  α);

- достраиваем недостающую проекцию l₂ по алгоритму принадлежности прямой плоскости;

- по принадлежности точки D прямо l достраиваем искомую проекцию точки D₂.

Задача 3. В плоскости α(А, В, С) построить главную прямую этой плоскости. Варианты заданий приведены в табл. 6.

Пример. В плоскости α(А, В, С) построить линию наибольшего ската. Исходные данные А(40;45;5), В(70;5;50) и С(10;15;30).

Решение (рис. 30):

- преобразуем задание плоскости α(А, В, С) → (∆АВС);

- в заданной плоскости проводим горизонталь h;

- используя теорему о прямом угле, на первой проекции плоскости α, строим первую проекцию линии наибольшего ската l₁(В₁2₁)  h₁(C₁1₁);

- по принадлежности прямой плоскости достраивается недостающая проекция линии наибольшего ската l₂.

Рис. 30