2.2.Арифметические свойства сходящихся последовательностей

Пусть х_n и y_n – две числовые последовательности.

Определение 6. Суммой, разностью, произведением последовательности на число, произведением, частным двух последовательностей х_n и y_n называется следующие последовательности: .

Теорема 4. Пусть последовательности и сходятся, и , . Тогда сходятся и последовательности , , , (с =const, в последнем случае), причем пределы вычисляются по формулам:

а) ;

б) ;

в) = ;

г) , .

□ а) Покажем, что последовательность имеет предел . По определению предела, пусть - произвольное положительное число. Возьмем число (если с=0, то утверждение а) очевидно). Тогда существует такой , что . Откуда .

б) По условию, т.к. пределы существуют, то такие, что выполняются неравенства Чтобы оба неравенства выполнялись одновременно положим , тогда

Таким образом, .

в) Поскольку последовательности и сходятся, то они ограничены, в частности, существует такое число М, что выполняется неравенство: . Увеличивая число М, можно получить неравенство . Поскольку последовательности сходятся, то по определению: .

Возьмем тогда получим

г) Покажем сначала, что

Поскольку последовательность сходится, то для .

Тогда

.

Снова, так как сходится, то по определению

.

Выберем число Тогда

т.е.

Отсюда, по утверждению в): . ■

Теорема 5 (сравнения, предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности , , .Тогда,

а) если и последовательности , сходятся, то выполняется неравенство: .

б) если и последовательности и сходятся к одному пределу, то также сходится, причем к тому же пределу, т.е.

.

□ а) Пусть . Докажем, что . От противного. Пусть . По определению, возьмем . Тогда

Обозначим число Тогда

Откуда . Пришли к противоречию, таким образом .

б) Пусть , тогда по определению предела

.

Возьмем . Тогда , но по условию теоремы: .

Таким образом, , а это означает, что . ■

Примеры. 1. Показать, что .

Решение. Возьмем номер N члена последовательности такой, чтобы .Тогда,при . Откуда справедливо неравенство:

. (2)

Т.к. , , то, в силу утверждения б) теоремы 5 из (2): , так как ,

( ).

2. Доказать, что при .

Решение. Пусть . Положим , причем по формуле бинома . Переходя в этом неравенстве к пределу, получаем

Если , то равенство очевидно. Если , то надо перейти к обратным числам, , где .

3.Доказать, что .

Решение. Положим . Тогда и , при .

Тогда по теореме сравнения .

Определение 7. Последовательность называется бесконечно малой (б. м.), если .

Очевидно, что если , то последовательность бесконечно малая. Наоборот, если , где , то . Действительно,

.

Теорема 6. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

□ Пусть – бесконечно малая, а – ограниченная последовательность. Это означает, что и .

Тогда , , т.е. . ■