Основные законы и формулы

Уравнение движения твердого тела в произвольной инерциальной системе отсчета имеют вид

где  – масса тела;  – скорость его центра масс;  – момент импульса тела; ,…,  – внешние силы, действующие на тело; ,…,  –моменты соответствующих сил.

При вращении твердого тела с угловой скоростью вокруг неподвижной оси проекция момента импульса , где  –момент инерции тела относительно этой оси. Тогда

Момент силы относительно оси вращения

,

где  – радиус-вектор плеча силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы ).

В случае постоянного момента инерции

,

где  – угловое ускорение.

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением

где ,  –  плотность тела и элемент объема в окрестности некоторой точки;  – расстояние от этой точки до оси;  – область пространства, занимаемая телом.

Момент импульса материальной точки

или ,

где  – расстояние от точки до оси, относительно которой определяется момент импульса;  – масса точки;  – линейная скорость.

Момент инерции материальной точки

.

Приведем момент инерции некоторых тел правильной геометрической формы. Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

,

где  – масса цилиндра;  – его радиус.

Момент инерции полого цилиндра (обруча) относительно оси

,

где и  – соответственно внутренний и внешний радиусы (у обруча ).

Момент инерции однородного шара радиусом относительно оси, проходящей через его центр

.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к его длине

.

Если система состоит из нескольких тел, ее момент инерции равен сумме моментов инерции этих тел.

Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси и момент инерции этого же тела относительно параллельной оси, проходящей через его центр инерции, связаны теоремой Штейнера:

,

где  – масса тела;  – расстояние между осями.

Кинетическая энергия вращения ТТ

Контрольные вопросы

1. Чем определяется число степеней свободы твердого тела?

2. Чему равно число степеней свободы твердого тела в различных случаях движения?

3. Как доказывается возможность представления скорости плоского движения твердого тела в виде суммы поступательной и вращательной скоростей?

4. Что такое мгновенная ось вращения?

5. Из каких скоростей слагается скорость точек твердого тела при произвольном движении?

6. Если тело движется поступательно, то где находится мгновенная ось вращения?

7. Как связана возможность устойчивого вращения твердого тела с расположением по отношению к этому телу главных осей инерции?

8. Почему для плоского движения уравнение движения и уравнение моментов целесообразно записывать относительно точки, через которую проходит центральная главная ось, перпендикулярная плоскости движения?

9. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил и

10. От каких величин зависит угловое ускорение тела?

11. Могут ли момент импульса и угловая скорость вращающегося тела быть неколлинеарными?

12. Относительно какой оси момент инерции однородного шара минимален и почему?

13. Почему знание массы тела является недостаточным для описания его инерционных свойств?

14. Дайте определение момента инерции.

15. Докажите теорему Гюйгенса–Штейнера.

16. Рассчитайте момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр.

17. Рассчитайте момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно осей, проходящих через центр масс тела перпендикулярно его граням.

18. Проведите расчет момента инерции маятника Максвелла.

19. В каком случае кинетическая энергия вращающегося тела определяется формулой

20. Почему, когда вращающийся на льду на коньках фигурист хочет остановиться, то разводит в стороны руки?

21. Как, располагая определенным количеством металла, создать маховик, который обладал бы максимальным моментом инерции?

22. Как поведет себя кабина вертолета, находящегося в полете, если по каким-либо причинам хвостовой винт перестанет работать?

23. Почему очень трудно удержаться на стоящем двухколесном велосипеде и совсем нетрудно сделать это, когда велосипед движется?

24. Что такое оси свободного вращения? Какие из них устойчивы?

25. В чем состоит нутация? От чего зависит скорость нутации? Почему однородный шар не может иметь нутационного движения?

26. Что такое прецессия гироскопа? Чем прецессия отличается от нутации?

27. При каких условиях можно считать, что вектор момента импульса гироскопа, мгновенная угловая скорость вращения и ось симметрии совпадают?

28. От чего зависит скорость прецессии?

29. Какие применения гироскопов известны?

30. Объяснить возникновение гироскопических сил. Какова их природа?

31. Чем уравновешивается момент внешних сил при прецессии гироскопа?

32. Что происходит с угловой скоростью прецессии гироскопа при уменьшении скорости вращения гироскопа вокруг его оси?