Основные законы и формулы

Уравнение движения тела, совершающего свободные колебания

,

где  – смещение тела от положения равновесия;  –коэффициент сопротивления;  – собственная циклическая (круговая) частота колебаний. Общее решение этого уравнения

,

где  – начальная амплитуда колебаний;  – начальная фаза колебаний; .

При колебания называются затухающими.

Логарифмический декремент затухания где .

Если , колебания называются незатухающими или гармоническими.

Период собственных колебаний математического маятника

,

где  – длина маятника;  – ускорение свободного падения.

Период собственных колебаний пружинного маятника

,

где  – масса груза, прикрепленного к пружине;  – жесткость (коэффициент упругости) пружины.

Период малых колебаний физического маятника

,

где  – момент инерции маятника относительно его оси вращения;  –масса маятника;  – расстояние от центра масс до оси вращения;  –ускорение свободного падения.

Уравнение движения тела, совершающего вынужденные периодические колебания,

,

где  – амплитуда вынуждающей силы;  – масса тела;  –циклическая частота вынуждающей силы. Установившееся решение этого уравнения

,

где

.

Максимум амплитуды смещения (резонансная амплитуда смещения) достигается при

Волновое уравнение имеет вид

,

где  – смещение точек среды от положения равновесия в момент времени  – скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость волны); при продольных деформациях ,  – модуль Юнга,  – плотность среды.

Решением этого уравнения является уравнения плоской волны

,

где  – амплитуда волны;  – циклическая частота;  – радиус-вектор до произвольной точки волновой поверхности;  – волновой вектор;  – единичный вектор в направлении распространения волны.

Объемная плотность энергии упругой плоской волны, распространяющейся вдоль оси OX

.

Средняя плотность энергии волны

.

Плотность потока энергии (вектор Умова)

.

Формулы Доплера:

; ,

где  –  частота, воспринимаемая приемником;  – собственная частота источника;  – скорость волны в данной среде; ,  – скорость источника и приемника относительно среды (верхние знаки соответствуют приближению источника и приемника друг к другу, нижние – их взаимному удалению).

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры колебательных движений. Какими общими признаками они обладают?

2. Чем определяются частота, амплитуда и фаза гармонических колебаний?

3. Будут ли колебания с возвращающей силой, имеющей вид , гармоническими? Почему малые колебания можно считать гармоническими?

4. Какое соотношение между кинетической и потенциальной энергиями в гармонических колебаниях?

5. Как связаны между собой амплитуды скорости и отклонения в гармоническом колебании?

6. Что происходит с частотой собственных колебаний при увеличении массы колеблющейся точки?

7. Каким будет движение шарика математического маятника, если нить маятника пережечь в момент прохождения шариком наинизшего положения?

8. На качелях мальчик один раз раскачивается сидя, а другой раз – стоя. Совпадают ли периоды колебаний качелей в обоих случаях?

9. Имеется груз неизвестной массы, резинка, линейка, штатив. Определите период вертикальных колебаний подвешенного на резинке груза.

10. Имеется груз, секундомер, длинная нить. Определите периметр и площадь комнаты.

11. Что такое биения? Являются ли биения гармоническими колебаниями?

12. Какие колебания называются затухающими?

13. От каких параметров системы зависят амплитуда, частота и период затухающих колебаний?

14. Дайте определение основных физических величин, характеризующие затухающие колебания.

15. Какой смысл имеет понятие периода затухающих колебаний, хотя они и непериодические?

16. Из каких соображений можно заключить, что частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты соответствующих собственных колебаний без затухания?

17. Что такое логарифмический декремент затухания?

18. Какие важные особенности затухания колебаний характеризуются декрементом затухания?

19. Дайте определение добротности колебаний? Какое свойство резонансной кривой характеризует добротность?

20. Объясните теорию физического маятника.

21. Будет ли математический маятник совершать колебания с одной и той же частотой в разных точках земной поверхности? Как должна измениться частота колебаний математического маятника в некоторой области земной поверхности, если под этой поверхностью находится какое-то массивное тело, например крупное месторождение металлических руд?

22. От каких основных факторов зависит энергия гармонических колебаний?

23. Представим, что мы раскачиваем маятник с помощью периодических толчков. В каком соотношении интервал времени между двумя толчками должен находиться с собственным периодом колебаний маятника?

24. Объясните свойство сопряженности точки подвеса и центра качения физического маятника.

25. Подвешенное на веревке ведро с водой совершает колебания. Как будет изменяться период его колебаний, если в дне ведра сделать отверстие?

26. Приведите примеры резонансных и автоколебательных движений?

27. Если затухание мало, то что происходит с фазой вблизи резонанса?

28. При каком условии анализ воздействия на систему периодической, но не гармонической, силы сводится к простому применению результатов анализа для гармонической силы?

29. Как, пользуясь общими закономерностями возникновения резонансных явлений, объяснить, что частота шага, естественная для высоких людей, оказывается меньше, чем частота шага для людей низкого роста?

30. Что такое переходной режим и чем определяется его продолжительность?

31. Чему равна частота вынужденных колебаний при гармоническом внешнем воздействии?

32. Какие особенности амплитудной резонансной кривой?

33. Чем автоколебания отличаются от вынужденных колебаний?

34. Почему вибрирующие установки (например, электродвигатели) на высоких зданиях располагаются на амортизаторах?

35. Где легче может распространяться волна: в системе, состоящей из одинаковых осцилляторов, или в системе, где имеются области с резко разделяющимися частотами собственных колебаний осцилляторов?

36. Известно, что подводные лодки обнаруживают присутствие других подводных лодок в толще воды с помощью звуколокации, т.е. по отражению звуковой волны от лодки противника. Можно ли считать, что звуковой луч в толще воды всегда распространяется по прямой линии или есть мешающие факторы?

37. Как изменится длина волны при переходе из среды менее плотной в более плотную?

38. Какое физическое явление, связанное с волновым движением, используется для уменьшения воздействия волн на берег с помощью волноломов?

39. Пользуясь принципом Гюйгенса, показать, как меняется фронт плоской волны, если она распространяется в среде, в которой скорость распространения волны равномерно меняется вдоль вертикальной оси или вдоль фронта волны.

40. Виолончелист, двигая в момент исполнения пьесы пальцы по грифу, принимает струну, делая тем самым ее звучащую часть более длинной или более короткой. Как меняется высота звука, если длина струны укорачивается?

41. Как различаются длины волн стоячих волн, которые могут образовываться в стержнях длиной и .

42. Какой принцип используется в музыкальных инструментах разного типа для того, чтобы изменить высоту издаваемых ими звуков?

43. Кто– шмель или комар– чаще машет крыльями при полете?

44. Чем объяснить тот факт, что на большом расстоянии голос слышен, а отдельные слова не различаются?

45. Почему на открытой площадке голос звучит менее громко, чем в закрытом помещении?

46. Почему человек, пытаясь услышать слабый звук, открывает рот?