Электрические колебания

В этом разделе пойдет речь об электрической цепи, состоящей из последовательно соединенного активного сопротивления , конденсатора , катушки индуктивности (рис. 3). Рассматриваемая цепь представляет собой типичную колебательную систему, вследствие чего ее часто называют колебательным контуром.

Рис. 3

Пусть и конденсатор заряжен до напряжения . При этом конденсатор имеет энергию: , где - заряд конденсатора. Далее конденсатор разряжается и в цепи появляется электрический ток. Вследствие явления самоиндукции ток в -цепи достигает максимального значения не сразу, а постепенно. При появлении тока возникает переменное магнитное поле, которое порождает вихревое электрическое поле в проводнике. Вихревое электрическое поле порождает индукционный ток, направленный против тока, и препятствует его мгновенному увеличению. По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но возрастает энергия магнитного, которая определяется формулой:

. (15)

В момент, когда конденсатор полностью разрядится ( ),

.

Несмотря на то, что , электрический ток не прекращается сразу, опять же вследствие явления самоиндукции. Индукционный ток, порождаемый вихревым электрическим полем, будет поддерживать ток .

В результате этого конденсатор будет перезаряжаться до тех пор, пока не исчезнет зарядный ток , т. е. . При этом энергия конденсатора равна . Затем конденсатор снова будет разряжаться и процесс может продолжаться сколько угодно долго. , потерь нет, поэтому выполняется закон сохранения энергии:

. (16)

Дифференцируя это выражение по времени , учитывая, что:

(17)

получаем дифференциальное уравнение:

(18)

И если обозначить: , то уравнение (18) полностью эквивалентно дифференциальному уравнению гармонического осциллятора:

(19)

Это позволяет сделать вывод: в контуре возникают гармонические колебания заряда и силы тока:

(20)

где - собственная частота гармонических колебаний (или период ) определяется параметрами контура:

(21)

Сравнивая (21) с (7), можно провести аналогию:

(22)

При введении потерь ( ) закон сохранения уже не будет выполняться, так как часть энергии будет выделяться в виде джоулева тепла. Для описания такой -цепи воспользуемся вторым правилом Кирхгофа: сумма напряжения на всех участках замкнутого контура равна действующей в этом контуре э.д.с.

Напряжения на отдельных элементах контура равны:

, , (23)

Поэтому:

(24)

т.е.

(25)

или:

(26)

Если сравнивать (26) и (7), то получаем:

(27)

Так как уравнения (26) и (7) с математической точки зрения эквивалентны, отличаются физическим смыслом неизвестных функций, то можно по аналогии с решением уравнения (7) записать решение уравнения (51) (см. табл. 1, рис. 3).

(28)

Таблица 1

Аналогия механических и электрических колебаний и их решений

Механические колебания	Электрические колебания
где коэффициент затухания равен:
круговая частота равна:
постоянные , определяются начальными условиями, т.е. выражаются через:

В соответствии с результатами (21), (53) можно определить критическое сопротивление :

, (29)

при котором колебания в контуре становятся апериодическими.