Описание установки

Схема установки представлена на рис. 1. Установка представляет собой основание 1, опирающееся на ножки регулируемой высоты 2. На основании закреплен вертикальный стержень 3. На верхнем конце стержня установлен датчик колебаний 4, регистрирующий угловое отклонение штанги 6, закрепленной в подшипнике, являющемся осью поворота.

Вдоль штанги 6 могут быть закреплены груз 8, элемент сухого трения 7 (кисточка), элемент вязкого трения 9 (тонкая пластина). При необходимости можно изменить момент инерции маятника, меняя точку его вращения или положение груза 7 на штанге 6. При взаимодействии элемента сухого трения 7 с поверхностью трения 5 возникает сила сухого трения. Движение пластины 9 в воздухе приводит к возникновению сил вязкого трения. Момент силы вязкого трения можно менять, изменяя её плечо действия относительно оси поворота перемещением пластины 9 вдоль штанги 6.

Для подключения установки к персональному компьютеру (ПК) используется электронный блок. Питание блока осуществляется от самого ПК. На передней панели находится индикатор подключения к ПК, на задней панели – разъём подключения USB и кнопка включения блока.

Особенностью данной установки является то, что точка приложения наиболее значительных сил трения (вязкого или сухого) не совпадает с центром масс маятника.

Колебания маятника под действием сил вязкого трения

На рисунке 2 схематично изображён маятник, способный вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку O, не совпадающую с центром масс (т. С) маятника, под действием силы тяжести и сил вязкого трения. Там же схематично показаны силы, действующие на маятник после того, как его вывели из положения равновесия и отпустили.

Рис. 2. Схема маятника, колеблющегося под действием силы тяжести и силы вязкого трения

Сначала запишем уравнения движения маятника с моментом инерции I при наличии силы сопротивления воздуха F_с, действующей на пластину, центр которой (т. B) расположен на расстоянии b от оси вращения маятника. Пусть в произвольный момент времени маятник отклонён от положения равновесия на угол φ, как показано на рис. 2. Под действием силы тяжести mg маятник стремится вернуться в первоначальное положение. Сила сопротивления F_с направлена против движения пластины и замедляет вращательное движение маятника. При этом ненулевая сумма момента M_т силы тяжести и момента M_с силы сопротивления воздуха обусловливает появление углового ускорения  . Основной закон динамики для вращательного движения I β = M в этом случае записывается так:

. (1)

При малых скоростях движения пластины сила сопротивления будет линейно зависеть от линейной скорости движения пластины. Строго говоря, линейная скорость движения разных участков пластины различна, однако приближенно можно записать:

, (2)

где μ – коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и линейной скоростью υ движения центра пластины; знак «минус» означает, что сила сопротивления воздуха направлена в сторону, обратную движению пластины, – угловая скорость движения маятника. При малых углах φ отклонения маятника от вертикального положения справедливо приближенное равенство sin φ ≈ φ, где угол φ выражен в радианах. С учётом этих приближений из (1) и (2) получим дифференциальное уравнение движения:

. (3)

Введем следующие обозначения:

, (4)

. (5)

С учетом этих обозначений дифференциальное уравнение движения (3) принимает форму:

(6)

Величина ω₀ имеет физический смысл циклической частоты собственных колебаний системы в отсутствие сил трения. Маятник будет совершать колебательное движение, но энергия колебаний будет уменьшаться, расходуясь на преодоление сил сопротивления. Следовательно, амплитуда колебаний должна с течением времени уменьшаться. Кроме того, силы сопротивления тормозят движение, что должно приводить к уменьшению частоты колебаний.

Как известно из теории дифференциальных уравнений, в зависимости от соотношения n и ω₀ возможно три варианта решения (6) и три соответствующих варианта движения [3, с. 117–118].

1) Если n > ω₀, то имеет место апериодическое затухание:

(7)

Величина φ монотонно убывает с ростом t. Система, выведенная из состояния равновесия, асимптотически возвращается в это состояние.

2) Если n = ω₀, то ω = 0 и имеет место критическое затухание.

3) Если n < ω₀, то амплитуда колебаний с течением времени убывает экспоненциально, система совершает затухающие колебания по закону:

, (8)

где A₀ и ₀ – постоянные величины, определяемые из начальных условий, а – собственная частота колебаний системы при наличии энергетических потерь. Величина называется амплитудой затухающих колебаний. Значения амплитуды для моментов времени t, t + T, t + 2T и т. д. образуют убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен . График колебаний, затухающих под действием сил вязкого трения, изображен на рис. 3.

Рис. 3. Временнáя зависимость амплитуды колебаний, затухающих под действием сил вязкого трения

Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими, поэтому к ним неприменимы обычные понятия периода и частоты.

Условным периодом затухающих колебаний называется промежуток времени между двумя последовательными состояниями системы, при которых колеблющаяся величина φ проходит через равновесное значение, изменяясь в одном и том же направлении (например, возрастая):

(9)

В то же время отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга на один период колебаний, от времени не зависит и остается постоянным:

(10)

Величина n, определяющая быстроту убывания амплитуды, называется показателем затухания или декрементом затухания.

Логарифмическим декрементом затухания δ называется натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний в моменты времени t и t + T:

(11 а)

или с учётом (10)

δ = nT. (11 б)

Как видно из (10), показатель затухания n имеет размерность [с^-1], т. е. его можно записать в виде n = 1 / τ, а логарифмический декремент тогда равен δ = T / τ. Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний N_e, по истечении которых амплитуда уменьшается в e раз: δ = 1 / N_e . Промежуток времени τ, необходимый для этого, называется временем релаксации: τ = TN_e = 1 / n.

Ещё одной важной характеристикой колебательной системы является её добротность. Добротность Q колебательной системы пропорциональна отношению запасенной энергии в некоторый момент времени к потерям энергии за период. Из определения добротности следует, что чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания. Величина добротности определяется как:

(12)

Если колебания затухают медленно (2nT << 1), то (12) можно упростить:

. (13)

Из (13) видно, что добротность колебательной системы пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время τ.

Для определения коэффициента пропорциональности μ между силой сопротивления F_с среды и линейной скоростью υ движения пластины из формулы (4) получим следующее выражение:

. (14)

Момент инерции относительно т. О маятника, состоящего из штанги массой m_шт и длиной l_шт, цилиндрического груза массой m_гр и длиной l_гр, пластины с элементом крепления массой m_кр (массой пластины пренебрегаем по сравнению с массой элемента крепления), рассчитывается следующим образом:

, (15)

где I_гр – момент инерции груза; I_гр = m_гр L² + m_гр l_гр² / 12, I_гр  ≈ m_гр L² при условии, что L² >> l_гр² / 12;

I_шт – момент инерции штанги; I_шт = m_гр H² + m_шт l_шт² / 12; H – расстояние между центром штанги и точкой подвеса маятника (т. О на рис. 2); если точка подвеса маятника совпадает с центром штанги, H = 0 и I_шт = m_шт l_шт² / 12;

I_кр – момент инерции элемента крепления; I_кр = m_кр b² (из-за сложной формы объекта и его удалённости от оси вращения системы считаем его массу точечной).

Логарифмический декремент затухания δ определяется по формуле (11 а). Но на практике обычно измеряют не две последовательные амплитуды A (t) и A (t + T), а начальную амплитуду колебаний А₀ и амплитуду А_j через некоторое число колебаний j. Тогда

(16)

откуда следует, что значение δ может быть определено по формуле:

(17)

Для экспериментального определения периода T затухающего колебания получившегося физического маятника можно использовать следующее выражение:

T = (t_j – t₀) / j, (18)

где t_j – момент времени, когда наблюдается амплитуда A_j;

t₀ – момент времени, когда наблюдается амплитуда A₀.