2. Обработка результатов измерений

2.1. Прямые измерения

В случае, когда необходимо находить результат как среднее значение из ряда отсчетов, величина отклонения от среднего подчиняется законам случайных отклонений и описывается теорией вероятности.

При прямых многократных измерениях Х₁, Х₂,…, Х_n какой–либо величины Х, по распределению Гаусса, наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое:

При этом средняя квадратичная ошибка S_n отдельного измерения а₁ равна:

Ожидаемая ошибка среднего арифметического S_a при конечном числе измерений равна:

Дисперсия распределения средних значений

.

Вероятность p того, что измеряемая величина X содержится в интервале , называется доверительной вероятностью

Использование приведенных формул возможно при достаточно большом числе измерений (n > 20), но в соответствии со Стьюдентом статистический подход справедлив и при малом числе измерений. Имеет место функция распределения Стьюдента, которая переходит в нормальное распределение Гаусса при большом числе измерений, и в то же время мало отличается от закона Гаусса при небольшом числе измерений. Ошибка X среднего значения x измеренной величины при n  2 определяется как

где t_p(n) – коэффициент Стьюдента, соответствующий данной надежности p и числу измерений n (n  2) (см. таблицу коэффициентов Стьюдента). Тогда окончательный результат измерений

,

т.е. искомое значение находится в интервале от до с надежностью p.

Далее необходимо оценить различные систематические ошибки, возникающие при измерении X. Для упрощения анализа следует пренебречь всеми малыми ошибками. Малыми считаются такие ошибки, стандартные отклонения которых в сумме изменяют суммарную погрешность не более чем на 10 – 15%. Суммарная величина стандартного отклонения для суммарной абсолютной ошибки , где - дисперсия.

Если случайные и систематические ошибки сравнимы по величине, то определяется интервал, в котором с установленной вероятностью может находиться суммарная ошибка, либо эти ошибки учитываются порознь.

В случае прямых измерений, когда получаются одинаковые отчеты или выполняется лишь однократное измерение, возникают ошибки, связанные как с классом точности приборов, так и с округлением результатов.

Предельная ошибка измерений X, связанная с классом точности приборов, определяется как

где k - класс точности прибора; n - полное число делений на шкале; c - цена деления.

Ошибки, связанные с классом точности, являются систематическими ошибками, так как они имеют постоянное значение или меняются по определенному закону.

Элементы электрических схем (R,C) также имеют класс точности k, выраженный в процентах от значения x, указанного на элементе, соответственно _x = ( k 0,01 ) X.

Систематические ошибки, связанные с округлением отсчета по шкале приборов, находятся как случайные по методу рандомизации по формуле

_x = pbc ( p = … ),

где с - цена деления; b - доля цены деления, связанная с ошибкой отсчета по

шкале, которая устанавливается для данных условий наблюдений с данным прибором; р – надежность.

Суммарная ошибка результата при однократном измерении складывается из ошибки, определяемой классом точности прибора, и ошибки отсчета

по шкале прибора. Результат измерения оценивается как

где - измеренное значение по шкале прибора.