Второй закон Ньютона для вращательного движения

(или основное уравнение динамики вращательного движения)/

Ниже это уравнение приведено в сравнении с ІІ законом Ньютона для поступательного движения:

Вращательное движение:

Поступательное движение:

Из сравнения уравнений видно, что момент инерции J играет ту же роль, что и масса в поступательном движении, то есть, является мерой инертности тела во вращательном движении.

А из самого уравнения вытекает физический смысл момент инерции - это величина, характеризующая изменение угловой скорости под действием вращательного момента (момента силы M).

§5 Закон сохранения момента импульса

Если система замкнута, то есть момент всех внешних сил М=0, то из уравнения

М= следует, что , то есть, :

или

Закон сохранения момента импульса

Например: человек, сидит на скамье Жуковского, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью _{1 .}

Когда он держит гантели в вытянутых руках, момент инерции системы J₁. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится (J₂.< J₁).

Но по закону сохранения момент импульса должен оставаться постоянными : .

Значит, с уменьшением J угловая скорость вращения  должна увеличиться.

Поэтому ₂ > ₁ а ее величина равна .

Аналогично, фигурист во время волчка поднимает вертикально вверх над головой руки, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

§6 Работа, мощность, кинетическая энергия при вращении

• Работа: dA= Fds= FRdφ= Mdφ

dA= Mdφ

• Мощность:

• Кинетическая энергия:

Если тело тело катится по горизонтальной поверхности то оно совершает

одновременно и поступательное, и вращательное движение. Тогда:

§7 Закон сохранения энергии при поступательном и вращательном движении тел

• Консервативная система (сила трения отсутствует)

Из закона сохранения энергии:

(1)

где . (2)

(3)

Закон сохранения для тела в точке (2):

Закон сохранения для тела в точке (3):

_{Подставим ω и J в это уравнение, и найдем из него скорость тела в нижней точке наклонной плоскости:}

_отсюда

_{Вывод: скорость тела на наклонной плоскости не зависит от массы и размеров тела (в формуле нет m и R ), а зависит только от высоты наклонной плоскости h и формы тела (коэффициент в знаменателе дроби зависит от значения коэффициента в формуле момента инерции J для тел разной формы).}

• _{Диссипативная система (действует сила трения)}

_{В начальной точке (1) кинетическая энергия равна нулю, поэтому механическая энергия системы:}

_{В нижней точке (2) потенциальная энергия равна нулю и механическая энергия равна только кинетической:}

_{В конечной точке (3) скорость тела равна нулю, поэтому тело обладает только потенциальной энергией:}

Поскольку система диссипативная, механическая энергия системы уменьшается, так как часть ее затрачивается на работу по преодолению силы трения на всем пути движения от точки (1) до точки (3). Поэтому общая энергия системы в конечной точке (mgh₃) меньше, чем в начальной (mgh₁).

Для диссипативных систем используют закон сохранения и превращения энергии :

Е₁ = Е₂ + А_1-2 = Е₃ + А_1-3 = const

где А = F_тр h - работа по преодолению силы трения на отрезке пути h.

Тогда:

= =

_{Вывод: тело не может вернуться в исходное состояние с энергией mgh1 , так как часть энергии была затрачена на работу по преодолению силы трения во время движения тела: А = ΔЕ = mg(h1 - h3 )}