§1. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение

1. Бегущая волна – это волна, которая переносит в пространстве энергию.

Перенос энергии количественно характеризуется вектором Умова (вектор плотности потока энергии). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Уравнение бегущей волны, которая распространяется в прямом направлении:

Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

В общем случае:

Где А – амплитуда волны;

- циклическая частота волны;

- фаза волны

Для волн в качестве основной характеристики используется волновое число:

Тогда уравнение бегущей волны.

2. Фазовая скорость.

Пусть , тогда

- фазовая скорость.

– волновое число

3. Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение волны:

V – фазовая скорость.

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х:

§2. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если одновременно распространяются несколько волн, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн, каждая из них распространяется так, как буд - то другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из волновых процессов.

Волновой пакет – группа волн, мало отличающихся друг от друга по частоте.

Рассмотрим волновой пакет из двух волн: распространяющихся в одном направлении х, с одинаковыми амплитудами и близкими частотами.

Δω<<ω_о

Результирующая волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда , меняется во времени.

За скорость распространения пакета принимают скорость перемещения max амплитуды волны, рассматривая его в качестве центра волнового пакета: эта скорость называется групповой скоростью:

Связь между групповой и фазовой скоростью:

Если , то

§3. Стоячие волны

Стоячая волна является особым случаем интерференции двух бегущих волн с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющимися навстречу друг другу.

На рис. показан график стоячей волны, которая является результатом сложения бегущей (сплошная линия) и отраженной (пунктирная линия) волн. Уравнения этих волн:

Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны:

Амплитуда стоячей волны зависит от положения точки среды относительно источника колебаний, т.е. от координаты х.

Пучность – это точка, в которой амплитуда стоячей волны максимальна : А_ст = 2А.

Узел – это точка, в которой амплитуда стоячей волны равна нулю: А_ст = 0 (рис.)

Координаты узлов и пучностей стоячей волны:

где λ_ст – длина стоячей волны (расстояние между соседними пучностями или узлами).

Длина бегущей и стоячей волн связаны соотношением:

λ = 2 λ_ст

Основные свойства стоячих волн:

1. В отличие от бегущей стоячая волна не переносит энергию, т.к. падающая и отраженная волны несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Полная энергия стоячей волны между узлами остается величиной постоянной.

2. Точки стоячей волны, лежащие между соседними узлами, совершают колебания с различными амплитудами, но в одинаковой фазе. При переходе через узел фаза колебаний меняется на π, т.е. точки по разные стороны узла колеблются в противофазах.

3. Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то в месте отражения получается узел. Образование узла связано с тем, что при отражении от более плотной среды волна меняет фазу на противоположную, и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений.

Если отражение волны происходит от менее плотной среды, то образуется пучность (изменение фазы не происходит, и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами).