Определители

Рассмотрим одну важную характеристику квадратной матрицы. Построим специальное отображение , обладающее рядом интересных свойств и имеющее многочисленные приложения.

Определение 4.13. Пусть задана матрица . Членом определителя такой матрицы называется произведение ее элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и умноженное на число , где – подстановка, составленная из строчных и столбцовых индексов элементов, вошедших в произведение, а – число инверсий в подстановке.

Таким образом, видим, что член определителя матрицы А можно описать в виде

.

Если упорядочить верхнюю перестановку в до естественного порядка, то член определителя запишется проще:

,

где число инверсий в нижней перестановке в . Функция оказывается функцией четности подстановки.

Определение 4.14. Определителем матрицы называется сумма всех членов определителя матрицы.

Учитывая, что между всеми подстановками степени и всеми произведениями, представленными в определении 4.13, устанавливается биективное соответствие, то легко видеть, что различных членов определителя будет ровно столько, сколько существует подстановок степени , т.е. !

Определитель матрицы обозначают следующим образом: или , или . В последнем случае имеет место матричная запись вида:

.

Тогда говорят о строках и столбцах определителя и о порядке его, опуская слово «матрица». Используя имеющиеся обозначения, запишем определитель в виде явной суммы членов:

Пример 4.4. Пусть задана матрица . Тогда членом определителя будет, например, произведение: . Подстановка имеет в нижней строке 14 инверсий, поэтому .

Рассмотрим примеры вычисления определителей 2-го и 3-го порядков. Итак, пусть задана матрица . Тогда, очевидно, что . Слагаемые отвечают подстановкам и . Первая из них четная, а вторая нечетная. Пусть теперь задана матрица третьего порядка:

.

Выпишем шесть подстановок третьей степени.

, , , , , . Из них четными будут , а нечетными будут . Числа инверсий в них соответственно равны в группе четных 0, 2, 2 в группе нечетных 1, 1, 3. Поэтому можно выписать все члены определителя и собрать их в алгебраическую сумму:

.

Как видно, количество слагаемых с ростом порядка матрицы растет очень быстро. К примеру, определитель матрицы десятого порядка имеет 3628800 членов. Если учесть, что в практических приложениях встречаются матрицы, имеющие порядок 100 и выше, становится ясно, что вычислять определители по определению неудобно. Рассмотрим свойства определителей, на основе которых можно построить алгоритмы, существенным образом упрощающие процедуру вычисления.

1. ; таким образом, строки и столбцы определителя равноправны;

2. Транспозиция двух строк (столбцов) определителя приводит к определителю, у которого соответствующие члены имеют противоположные знаки по отношению к членам исходного определителя и потому, следовательно, определитель меняет знак на противоположный;

3. Если умножить (как матрицу) какую-либо строку (столбец) определителя на элемент поля, то и весь определитель умножится на этот элемент; в частности, для любых , . Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

4. Если i-ю строку (i-й столбец) определителя разбить в сумму двух строк (столбцов) , то определитель можно представить в виде суммы двух определителей таких, что все строки (столбцы), кроме i-й (i-го) совпадают соответственно со строками (столбцами) исходного определителя, а на месте i-й (i-го) в первом стоит , а во втором стоит .

5. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

6. Определитель не изменится, если к какой-либо его строке (столбцу) прибавить (как матрицу) другую его строку (столбец), умноженную (-ого) на произвольный элемент поля. Отсюда, в частности, следует, что определитель, содержащий равные строки (столбцы), равен нулю.

Кстати, вопрос о равенстве или не равенстве нулю определителя оказывается весьма важным. Рассмотрим специальный результат на эту тему.

Определение 4.15. Пусть заданы строки (или столбцы ), а также элементы поля . Тогда строка (столбец)

называется линейной комбинацией строк (столбцов) с коэффициентами .

Теорема 4.3 (критерий равенства определителя нулю).

Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда одна из его строк (столбцов) является линейной комбинацией других строк (столбцов) определителя.

Доказательство достаточности легко получить, опираясь на свойство 4 . А вот необходимость приходится доказывать много позже на основе понятия ранга матрицы.

Пример 4.5. Определитель матрицы равен нулю, так как его третья строка есть линейная комбинация первой и четвертой строки с коэффициентами соответственно 1 и -2.

, .