Действия над линейными операторами

Равенство линейных операторов есть обычное равенство отображений. На этой основе определим основные операции над линейными операторами. Предварительно договоримся об одном обозначении. Множество всех линейных операторов, действующих из линейного пространства в линейное пространство обозначим через .Если , то будем писать .

Определение 9.6. Пусть . Тогда суммой операторов и называется отображение такое, что .

Лемма 9.1. Для любых .

Теорема 9.1. – абелева группа.

Это простое упражнение на проверку аксиом группы. Алгебраичность операции следует из леммы 9.1. Нейтральным элементом будет оператор – нулевой.

Определение 9.7. Пусть и . Тогда произведением числа на оператор называется отображение такое, что .

Лемма 9.2. Для любых и .

Теорема 9.2. Пусть и – два линейных пространства. Тогда множество относительно сложения линейных операторов и умножения их на числа из поля Р образует линейное пространство над полем Р.

Это тоже простое упражнение на проверку аксиом линейного пространства. Здесь первую группу аксиом обеспечивает теорема 9.1.

Определение 9.8. Пусть , , – линейные пространства, и . Тогда произведением операторов называется композиция отображений В и А. Таким образом, .

Лемма 9.3. Для любых и .

Теорема 9.3. Тройка образует ассоциативное кольцо с единицей.

Здесь теорема 9.1 задает аддитивную группу кольца. Алгебраичность умножения обеспечивается леммой 9.3. Ассоциативность композиции известна из главы I (см. л. 1.5). Единицей кольца будет оператор . Дистрибутивные законы проверяются тривиально.

Дополнительным свойством, связывающим оба произведения для операторов, служит следующее:

.

Это свойство выполняется, очевидно, и для случая, когда операторы действуют из одного пространства в другое при условии существования композиции .

Определение 9.9. Пусть задан многочлен ,

,

и линейный оператор , где Х – пространство над полем . Тогда линейный оператор называется операторным многочленом, порожденным многочленом и оператором А. Множество таких многочленов обозначим .

Теорема 9.4. Тройка образует коммутативное кольцо с единицей.

Проверка аксиом кольца здесь тривиальная. Коммутативность же следует из того, что все операторные многочлены из порождены одним линейным оператором.

Образ и ядро линейного оператора

Образ линейного оператора – это образ отображения. Поэтому нового здесь ничего нет. Таким образом, для

.

Но, тем не менее, справедлива следующая лемма.

Лемма 9.4. Для – подпространство в .

Применение критерия подпространства доказывает эту лемму (см. гл.V, т.5.1). Но так как речь идет о подпространстве конечномерного пространства, то оно должно обладать некоторой размерностью.

Определение 9.10. Размерность образа линейного оператора называется его рангом.

Легко заметить, что для , ибо . Но могут быть и другие векторы, отображаемые в нулевой вектор. Отсюда

Определение 9.11. Для линейного оператора совокупность векторов пространства Х, отображаемых в нуль пространства , называется ядром оператора А и обозначается . Т.е.,

.

Лемма 9.5. Ядро линейного оператора есть подпространство в Х.

Здесь также следует применить критерий подпространства. И так же, как в случае с образом, получаем, что ядро должно обладать размерностью. Отсюда новое определение.

Определение 9.12. Размерность ядра линейного оператора называется его дефектом.

Оказывается, что вновь определенные два числа, ранг и дефект, связаны между собой жесткой связью. Именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 9.5. Для линейного оператора справедливо равенство:

.

Доказательство. Разложим пространство Х в прямую сумму:

,

где – любое прямое дополнение к . Если доказать изоморфизм , то теорема будет доказана, ибо размерности изоморфных пространств совпадают (см. т.5.9). Действительно, определим отображение правилом: .

Докажем, что – изоморфизм. Линейность этого отображения обеспечивается

линейностью оператора А. Поэтому достаточно доказать его биективность. Из прямой суммы имеем, что любой вектор можно однозначно представить в виде ,

где , а . Так как , , то образы векторов из Х поставляются исключительно векторами из . Поэтому отображение сюръективно. С другой стороны, если для какой-то пары векторов из , то это значит, что , т.е., , а значит, , но вектор . Откуда, в силу прямоты суммы, , т.е., , что доказывает инъективность отображения . Значит, оно биективно, и теорема доказана.