Односторонние (левый и правый) пределы функции

Левый предел – это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента слева от точки , т.е. .

Символическая запись левого предела функции:

.

Правый предел – это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента справа от точки , т.е. .

Символическая запись левого предела функции:

.

Теорема. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, и они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.

Пример 2.15

Предел многочлена равен …

Варианты ответов: 1) 11; 2) 49; 3) 0; 4) 57.

Решение:

Для вычисления предела многочлена при надо вместо переменной x подставить значение , к которому она стремится, и подсчитать, используя соответствующие теоретические положения.

.

Пример 2.16

Предел функции равен …

Варианты ответов: 1)0; 2)1,5; 3)2; 4) .

Решение:

Используем теоремы 5 и 3 о пределе отношения и пределе суммы, а затем подставим в формулу дроби.

Пример 2.17

Предел отношения двух многочленов равен …

Решение:

Пример 2.18

Предел дроби равен …

Варианты ответов: 1)1; 2)2; 3)0; 4) .

Часто встречаются случаи, когда непосредственно нельзя применить теорему о пределе частного. Это так называемые неопределённости вида .

В ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремится к нулю. Тогда говорят, что имеет место неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости такого вида надо числитель и знаменатель разложить на множители.

Если числитель неограниченно возрастают при , то в таком случае имеет место неопределённость вида . Для её раскрытия надо разделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень .

Пример 2.19

Предел дроби равен …

Решение:

Здесь имеет место неопределённость вида . Это можно видеть, подставив . Для решения разложим на множители числитель, и знаменатель дроби, сократим общий множитель, после чего уже подставим предельное значение :

Пример 2.20

Предел дроби равен …

Решение:

Это неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень

Пример 2.21

Предел дроби равен …

Варианты ответов: 1) ; 2) ; 3)0; 4)3.

Решение:

Разделим числитель и знаменатель на (неопределённость вида ).

3.

Пример 2.22

Предел дроби равен …

Варианты ответов: 1)0; 2)2; 3)-1; 4)1.

Решение:

Если непосредственно подставить в формулу , то получим неопределённость вида . Разложим числитель и знаменатель (а это квадратные трёхчлены) на множители, и сократим общий множитель.

-1.

Пример 2.23

Предел функции равен …

Варианты ответов: 1)1; 2)2; 3)3; 4)4.

Решение:

Это непосредственность вида – и числитель, и знаменатель дроби стремятся к нулю. Разложим и числитель и знаменатель для раскрытия неопределённости, и применим теорему о пределе частного и пределе суммы.

4.

Пример 2.24

Предел функции равен …

Варианты ответов: 1)0; 2)1; 3)2; 4)8.

Решение:

Покажем это. Это неопределённость вида , так как и числитель, и знаменатель стремятся к при . Разделим их на и применим теорему о пределе частного, которую до этого применять было нельзя.

1.

Пример 2.25

Предел функции равен …

Варианты ответов: 1)0; 2)2; 3)4; 4)8.

Решение:

Это неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель на и применим теорему о пределе частного, а затем теорему о пределе суммы.

4.

Пример 2.26

Предел дроби равен …

Решение:

Так как это неопределённость вида , то разделим и числитель, и знаменатель на , после чего воспользуемся теоремой о пределе частного.

0.

Рассмотрим раскрытие неопределённость вида - . Для этого умножим и разделим данное выражение на сопряжённое, после чего используем приём, рассмотренный выше: разделим и числитель, и знаменатель на старшую степень переменной .

Пример 2.27

Предел функции равен …

Решение:

Умножим на сопряжённое выражение и разделим на него.

Теперь разделим и числитель и знаменатель на .