Тогда формула для погрешности
f(x)
Pn(x)
=
(x-xj),
[a,b].
Формула (3) содержит значения функций в узлах интерполяции, она применима как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих узлов. К недостаткам формулы можно отнести то, что при изменении числа узлов все расчеты необходимо проводить заново.
При вычислениях на РС в том случае, когда шаг сетки постоянен, удобна интерполяционная формула Ньютона. Для ее записи надо ввести так называемые разделенные разности.
Разделенная разность нулевого порядка совпадает со значением функции в узлах.
Разделенная разность первого порядка определяется так
у(xi, xj) = y (xi) y(xj)(xi xj).
Разделенная разность второго порядка –
y(xi,xj,x ) = y(xi,xj) y(xj,x )xi x ) и т.д.
Тогда функция-интерполянта приобретает вид
f(x) = yo
+
(3.4)
Уравнение (3.4) определяет полином Ньютона.
После того как вычислены разделенные разности, вычислять полином Ньютона удобно по схеме Горнера:
f(x) = y(xo) + (x-xo) [y (xo,x1) + (х-х1) [y (xo,x1,x2) + …]] (3.5)
Вычисление f(x) по (3.5) для каждого х требует n умножений и 2n сложений и вычитаний.
Следует иметь в виду, что применение полинома высокой степени может приводить к трудным проблемам, связанным с погрешностями округления.
Важным вопросом является сходимость интерполяции, т.е. выяснение условий, при которых погрешность метода стремится к нулю. Для уменьшения погрешности можно сохраняя степень интерполяционного полинома уменьшать шаг сетки, либо, сохраняя шаг сетки, увеличивать число используемых узлов, т.е. степень многочлена.
На практике, если 3-5 узлов не обеспечивают требуемой точности, то нужно не увеличивать число узлов, а уменьшить шаг таблицы.
Для данного порядка интерполяции n ошибка имеет порядок n.
Ошибка ограничения или «усечения» (разложение в ряд «усечено» до некоторого порядка) определяется так
εr = sup|f(x)-P(x)| = hnM/n!, h = |xn-x1|, M = sup|fn(x)|
К ошибке ограничения добавляют ошибку округления.
3.2 Сплайн - интерполяция
Приближение сплайнами - кусочно-полиномиальное приближение функции f(x) по ее значениям в узлах. Степень полинома на каждом участке одинакова, и называется порядком сплайна. Часто между любыми соседними уздами сетки функция интерполируется кубическим полиномом - кубическая сплайн-интерполяция. Коэффициенты кубического полинома на каждом участке определяются из условий сопряжения (согласования) в узлах.
f(xi)=yi, f'(xi-0) = f'(xi+0), f"(xi-0) = f"(xi+0), для i = 0,1,…, n-1.
На границе участка ставятся условия f"(x0)=0, f"(xn)=0.
Условия согласования звеньев сплайна с исходной функцией используются для вывода формулы одного звена на заданном отрезке. Количество согласований соответствует степени сплайна.
Компьютерная реализация методов интерполирования в Excel описана в [23-24,26].
Литература: [1 - 4],[6],[22-24].
Лекция 4
Тема: Численное интегрирование в теплотехнических расчетах. Методы численного интегрирования.
План: Численное интегрирование при расчете площади поверхности нагрева теплообменного аппарата. Методы численного интегрирования: прямоугольника, трапеций, парабол, Гаусса. Компьютерная реализация теплового расчета теплообменного аппарата.