§2. Интегрирование рациональных дробей 30

3.1 Определение и основные свойства рациональных дробей 32

3.2 Интегрирование простейших рациональных дробей 36

3.3 Правило интегрирования рациональных дробей (Правило интегрирования рациональных дробей) 39

3.4 Упражнения для самостоятельной работы 41

Вопросы для самопроверки 41

§3. Интегралы от некоторых тригонометрических функций и от некоторых иррациональных функций 42

4.1 Интегралы от произведения синуса и косинуса разных аргументов 44

4.2 Интегралы от произведения степеней синуса и косинуса одного аргумента 45

4.3 Интегралы от натуральных степеней тангенса и котангенса 46

4.4 Интегралы от рациональной функции аргументов cosx и sinx 48

4.5 Интегралы от иррациональных функций вида 50

4.6 Интегралы от иррациональных функций вида 51

4.7 Интегралы, у которых иррациональности уничтожаются тригонометрическими подстановками 52

4.8 Упражнения для самостоятельной работы (Интегралы от произведения синуса и косинуса разных аргументов.) 55

1.1. Определения первообразной и неопределённого интеграла 3

1.2. Основные свойства неопределённого интеграла 6

1.3. Таблица неопределённых интегралов 10

1.4. Общие замечания о вычислении неопределённых интегралов 13

1.5. Упражнения для самостоятельной работы 14

Вопросы для проверки 15

Глоссарий 16

1. Определения первообразной и неопределённого интеграла

В теме «Неопределённые интегралы» изучается действие, обратное дифференцированию; целью этого действия является восстановление функции одной переменной по известной её производной. Основными понятиями этой темы являются понятия первообразной и неопределённого интеграла.

Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной для данной функции f(x), если её производная равна данной функции, то есть .

Например, для функции первообразными являются следующие функции:

, , … , , где С – это произвольная величина, постоянная относительно х; таким образом, существует бесконечное множество первообразных для функции .

Теорема об основном свойстве первообразных

Любые две первообразные одной функции f(x) могут отличаться друг от друга только на постоянное слагаемое.

 Пусть имеем Ф(х) и F(x) — это две первообразные для функции f(x)

для  x, принадлежащих пересечению ООФ f(x), Ф'(x) и F' (x)

(проведено вычитание равенств и использо-

вано свойство линейности операции дифференцирования)

, где С – const относительно х (по признаку постоянства функции)

.  

Определение неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции: , где , — произвольная постоянная (const по х).

В этом определении принята следующая терминология:

х — переменная интегрирования,

dx — дифференциал переменной интегрирования,

f(x) — подынтегральная функция,

f(x)dx — подынтегральное выражение,

— знак неопределённого интеграла.

Примеры (неопределенные интегралы)

1) ; 2)

Нахождение неопределённого интеграла (или первообразной) от данной функции f(x) называется действием интегрирования функции f(x). Вопрос о существовании первообразной, следовательно, и неопределённого интеграла для заданной функции будет рассматриваться далее. Сейчас отметим лишь, что достаточным условием для существования первообразной для функции является непрерывность на некотором промежутке значений x.