Предисловие

Вниманию читателей предлагается учебное пособие по курсу «Основы математического моделирования социально-экономических процессов», предназначенное для студентов всех форм обучения по программам бакалавриата направления «Государственное и муниципальное управление». Эта дисциплина является федеральным компонентом цикла ЕН и появилась под таким названием впервые. В связи с этим в научном сообществе еще нет устоявшегося понимания содержания этой дисциплины и большинство авторов приводят модели, применяемые в экономике, что наверное не слишком интересно для управленцев.

Авторы этого пособия считают, что для направления «Государственное и муниципальное управление» необходимо обозначить как можно больше известных подходов, моделей и методов, которые управленец может использовать при принятии решения, при составлении прогноза, при планировании деятельности.

С этим связано включение в пособие постановок задач, приводящих к теории линейного программирования. Если выбор оптимального решения основывается не на одном критерии, то в этом случае используются другие модели и подходы. С этим связано включение в пособие теоретико-игровых методов и критериев принятия решения в условиях неопределенности.

В учебном пособии приводятся примеры решения основных типов задач и большое количество задач для организации самостоятельной работы студентов. В конце каждого параграфа имеются типовые задачи с решениями, которые могут послужить основой для проведения практических занятий, а также задачи, предназначенные для самостоятельного решения. Детальность решения типовых задач и наличие дополнительных задач позволяют студенту самостоятельно изучить материал, что делает его пригодным для организации дистанционной технологии обучения.

Следует отметить, что большинство учебников по дисциплине, опубликованных в нашей стране, либо вообще не содержат прикладных примеров, либо эти примеры имеют «однобокую экономическую окраску». Но очевидно, что для эффективного использования на практике полученных знаний студент должен уметь самостоятельно строить математические модели для конкретных прикладных задач. По этой причине в пособии приводятся разнообразные примеры, позволяющие студенту глубже понять смысл изучаемого курса.

Введение

С незапамятных времен человечество, используя бессмертный метод проб и ошибок, интуицию и опыт, накапливаемый в каждой конкретной ситуации, создавало искусство выработки наилучших решений в самых разных областях своей деятельности.

Успехи использования математических методов и стиля мышления в естественных науках привели к мысли о том, чтобы включить в сферу математического влияния и проблему принятия решений и попытаться тем самым превратить древнее искусство в современную науку. Испытанный метод проб и ошибок в наши дни часто теряет свою универсальность: слишком катастрофическими могут оказаться ошибки и слишком мало времени отпущено для проб. Становится все более ясным, что сегодня меньше, чем когда-либо ранее, допустимы про­извольные, чисто волевые решения.

На первый план выходит не задача создания все новых и новых образцов техники, а проблема организации и управления, причем управления не только (и не столько) машинами, но и людьми, сложными человеко-машинными системами.

Математический аппарат, столь давно используемый в сфере точных и опытных наук, только сравнительно недавно стал применяться в гуманитарных науках.

Предмет гуманитарных наук, неизмеримо сложнее тех, которыми занимаются науки точные. Многие гуманитарные явления гораздо труднее поддаются формализации, если вообще поддаются. Для каждого из этих явлений гораздо шире спектр причин, от которых оно зависит, и в их числе — психология живых людей и коллективов, людские пристрастия и антагонизмы.

И все же помимо традиционных областей приложения — точных и опытных наук — математика начинает заниматься такими вопросами, которые от века изучались только на гуманитарном уровне: конфликтными ситуациями, иерархическими отношениями в коллективах, согласием, авторитетом, общественным мнением. Строятся и анализируются математические модели, применяются математические методы. Математика не только проникает в ранее чуждые для нее области, но и трансформируется при этом, становится менее "формальной", меняет свои методологические черты, гибко приближаясь к наукам гуманитарным.

Ее методы в области гуманитарных и смежных с ними наук могут служить мощным вспомогательным средством, позволяющим исследователю глубже проникнуть в существо явления, проследить его закономерности, обнаружить скрытые связи, малодоступные наблюдению простым, невооруженным глазом.

Математические методы можно рассматривать как достаточно эффективное средство структурированного, более компактного и обозримого представления имеющейся информации. Это особенно ясно в тех случаях, когда информация задается в виде числовых массивов, в графической форме и др. Анализ результатов математической обработки данных зачастую позволяет высказать некоторые рекомендации относительно тех или иных способов действия.

Кроме того, существует целый ряд типичных управленческих ситуаций, допускающих известную формализацию, где именно математические подходы и соображения обоснованно становятся решающими.

Этому способствует заметные продвижения в разработке математических подходов к решению количественных проблем управления, заметные теоретические продвижения в теории игр и теории полезности (Дж. фон Нейман (J. von Newmann)) и в линейном программировании (Дж. Данциг (G. Danzig), Л. В. Канторович), а также создание новых мощных средств вычислений. Многие задачи управления удалось достаточно хорошо формализовать, и сейчас они уже весьма широко и довольно успешно решаются стандартными математическими методами.

В первой половине XX в. начали разрабатывать (и довольно успешно) элементы научного подхода к поиску решений задач управления, а схемы, хорошо показавшие себя при проведении естественнонаучных и инженерно-технических изысканий, стали пытаться приспосабливать к решению управленческих задач.

Под моделированием будем понимать исследование явлений, процессов и объектов путем построения и изучения их моделей. Под моделью понимается такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Модель должна отражать важнейшие черты явления, то есть в ней должны быть учтены все существенные факторы, от которых в наибольшей степени зависит успех исследования. Вместе с тем модель должна быть по возможности простой без мелких, второстепенных факторов, так как их учет усложняет математический анализ и делает трудно обозримым результат изысканий.

Существует несколько приемов моделирования, которые можно условно объединить в две большие группы: материальное (предметное) и идеальное моделирование. К материальным относятся такие способы моделирования, при которых исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. Основными разновидностями материального моделирования являются физические и аналоговые моделирования.

Физическим принято называть моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями, логическими схемами и т. п.).

От предметного моделирования принципиально отличается идеальное моделирование, которое основано не на материальной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой. Различают два типа идеального моделирования: интуитивное и знаковое.

Под интуитивным понимаем моделирование, основанное на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации либо не нуждающемся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека может считаться его интуитивной моделью окружающего мира. Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т.д., а также включающее совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и их элементами. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформированной на языке математики, и использованием тех или иных математических методов. При построении математической модели реальное явление всегда упрощается, схематизируется, и полученная схема описывается с помощью того или иного математического аппарата.

Использование математических методов для решения социально-экономических задач требует предварительного качественного анализа исследуемой системы, глубокого изучения ее сущности, выяснения направления целесообразного ее изменения. На основе данных такого анализа социально-экономическая система описывается некоторыми математическими соотношениями с помощью независимых переменных, параметров и функций, отображающих интересующие нас свойства объекта или процесса, т.е. создается математическая модель. Эта модель, как правило, представляет собой математическое выражение в виде системы уравнений, неравенств, отображающих взаимосвязь между явлениями в каком-нибудь реальном экономическом процессе, либо некоторую функцию, которая описывает некоторую выявленную закономерность, содержащуюся в заданной исходной количественной информации об объекте.

Существует много разнообразных математических моделей, которые достаточно хорошо описывают различные ситуации, требующие принятия тех или иных управленческих решений. Выделим из них следующие три класса — детерминированные, стохастические и игровые модели.

При разработке детерминированных моделей исходят из той предпосылки, что основные факторы, характеризующие ситуацию, вполне определены и известны. Здесь обычно ставится задача оптимизации некоторой величины (например, максимизация прибыли).

Стохастические модели применяются в тех случаях, когда некоторые факторы носят неопределенный, случайный характер.

Наконец, при учете наличия противников либо союзников с собственными интересами необходимо применение теоретико-игровых моделей.

В ходе дальнейшего изложения мы будем опираться на приведенную классификацию моделей, хотя возможны и другие, например, модели можно делить на статические и динамические, дискретные и непрерывные и т. д.

Как было сказано, в детерминированных моделях обычно имеется некий критерий эффективности, который требуется оптимизировать за счет выбора управленческого решения.

В стохастических и игровых моделях ситуация усложняется еще больше. Зачастую выбор самого критерия зависит здесь от конкретной ситуации, и возможны различные критерии эффективности принимаемых решений.

При выборе и/или создании модели важно суметь найти верный баланс между точностью модели и ее простотой. Ни одна математическая модель не может охватить всех особенностей изучаемой проблемы.

Отметим, что сам термин "управление" можно понимать по-разному. Это и организация, в том числе и технологическая, той или иной осмысленной деятельности для достижения каких-либо целей (в качестве математического обеспечения здесь используются преимущественно детерминированные и стохастические модели), и изучение моделей поведения взаимодействующих сторон (здесь применяются игровые модели).