Кинематика

Кинема́тика (греч. κινειν — двигаться) в физике – раздел механики, изучающий математическое описание движения идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость), без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики – пространство и время. Главной задачей кинематики является математическое определение положения и характеристик движения точек или тел в пространстве и во времени. Фундамент классической кинематики заложил итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642 гг.).

В кинематике рассматривают два основных метода описания движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

По методу Лагранжа следят за движением отдельной жидкой частицы, движение которой будет выясненным, если в каждый момент времени t известно ее местонахождение (координаты х, у, z):

Здесь a, b, c - начальные координаты выделенной частицы в момент времени t, которые называют переменными Лагранжа.

Составляющие проекций скорости на координатные оси рассматриваемой частицы:

, , .

Аналогично, составляющие ускорения на соответствующие координатные оси имеют вид:

, , .

Например, методом Лагранжа определяют в интересуемый момент времени координаты запускаемых аппаратов (метеорологические радиозонды, спутники и пр.).

По методу Эйлера следят в неподвижной точке пространства (гидрологический пост, метеостанция) за изменением характеристик движущегося потока жидкости в этой точке. Частицы жидкости, проходящие через точку (x,y,z) в последовательные моменты времени, будут обладать определенными скоростями . Поэтому в данной точке скорость есть

.

Но скорость неодинакова для различных точек пространства, а потому , следовательно, ускорение

Используя обозначения имеем:

(2)

Проектируя (2) последовательно на координатные оси, получим формулы для компонентов ускорения жидкой частицы:

,

(3)

.

Все члены в (2) и (3) имеют специальные названия:

	индивидуальная (субстанциональная, полная) производная с указанными в скобках компонентами – проекциями вектора скорости на соответствующие координатные оси;
	локальная (местная, или частная) производная, характеризующая изменение рассматриваемой величины с течением времени в данной точке пространства;
	из уравнения (2),

что соответствует скалярной форме записи уравнений в виде (3):

–

конвективная производная, характеризующая изменение рассматриваемой величины в пространстве, причем, в свою очередь, она распадается на адвекцию (перенос по горизонтали – производные по х и y) и конвекцию (перенос по вертикали – производная по z).

Уравнения (2)-(3) можно записать в виде:

; (4)

;

.

Здесь – оператор градиента, действующий на соответствующую функцию .

Из последних записей (4) видно, что конвективная производная может возникнуть только в неоднородном движущемся поле.

Двум описаниям движения жидкости соответствуют и две ее геометрические характеристики: траектория и линия тока.

Траектория - линия, по которой движется жидкая частица в течение некоторого отрезка времени (пространственный след, оставляемый жидкой частицей).

Дифференциальные уравнения траектории:

(5)

Интегрируя систему уравнений (5) и разрешая относительно x, y, z, получим:

,

где С₁, С₂, С₃ - константы интегрирования, значения которых можно определить из заданных начальных условий. Исключая из последней системы уравнений время t, найдем траекторию жидкой частицы.

Линия тока - линия, проведенная в жидкости в данный момент времени так, что скорости всех частиц, находящихся на этой линии, направлены по касательным к ней.

Дифференциальные уравнения линии тока:

(4)

Время t - параметр.

Движение жидкости будет стационарным (установившимся), если скорости частиц жидкости явным образом не зависят от времени. В противном случае - движение нестационарно (неустановившееся). Для стационарного движения линии тока совпадают с траекториями.

Дивергенция (расходимость) векторного поля характеризует от­сутствие или наличие в точке поля источника или стока:

где - поток векторного поля через замкнутую поверхность s, объем которой . Если > 0, то в рассматриваемой точке имеется источник; если < 0, то - сток; если = 0, то - нет ни источника, ни стока.

Дивергенция векторного поля в точке рассчитывается по формуле:

Если векторное поле скоростное, то есть , то

.

Уравнение неразрывности (сплошности). Рассматривая в прост­ранстве протекание жидкости через замкнутую поверхность, можно заключить, что если за некоторый промежуток времени количество вытекающей жидкости не будет равно количеству втекающей, то внут­ри объем этой жидкости произойдет изменение плотности. Аналити­чески этот факт описывается уравнением неразрывности:

,

которое является выражением закона сохранения масс (материи), ус­тановленным впервые М.В. Ломоносовым в 1748 г.

Разновидности записи уравнения неразрывности:

,

Частные случаи уравнения неразрывности:

а) для стационарного движения ,

;

б) для несжимаемой жидкости ( = const)

или ; (5)

в) для стационарного движения несжимаемой жидкости

- (6)

постоянство потока через трубу переменного сечения s.

Или скорости потока обратно пропорциональны сечениям.

Уравнение (6) называют гидравлическим уравнением неразрывности.

Состояние движения жидкости будем называть вихревым, если существуют области, в точках которых вихрь скорости ( ) отли­чен от 0. Считая, что точки, в которых , сплошным образом заполняют некоторое пространство, мы приходим к понятию нового векторного поля - поля вихрей.

Подобно тому, как линии тока дают представление о поле ско­ростей, вихревые линии дают представление о поле вихрей в жидкос­ти. Вихревая линия - линия, проведенная в жидкости в данный мо­мент времени так, что вихри всех частиц, находящихся на этой ли­нии, направлены по касательной к ней в соответствующих точках. Дифференциальные уравнения вихревых линий:

где ; ; (7)

Если в каждой точке рассматриваемого поля жидкости rotv = 0, то такое поле называется безвихревым. Для безвихревого поля

,

где функция называется потенциалом скорости.

Безвихревое поле называется потенциальным. Для потенциально­го поля

, , . (8)

Для безвихревого поля несжимаемой жидкости уравнение нераз­рывности принимает вид:

,

или

, которое называют уравнением Лапласа.

Плоско-параллельное движение несжимаемой жидкости. Определе­ние плоско-параллельного движения жидкости остается таким же, как и в теоретической механике для абсолютно твердого тела: движение жидкости называется плоским, если все частицы ее, находящиеся на одном и том же перпендикуляре к некоторой неподвижной плоскости, описывают тождественные и параллельные этой плоскости траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Если движение стационарно, то дифференциальное уравнение ли­нии тока имеет вид: , или после интегрирования = const. При различных значениях константы получаем и различные линии тока. Поэтому функцию называют функцией тока. Компоненты скорости через функцию тока выражаются следующим образом:

, . ( 9)

Для безвихревого движения несжимаемой жидкости:

, , (10)

откуда видим связь между потенциалом и функцией тока.