Лабораторна робота №2 Тема Розв’язування рівнянь з однією змінною

Мета: навчитись використовувати можливості MS Excel для розв’язування рівнянь з однією змінною

Теоретичні відомості

Постановка задачi. Кожне рiвняння з однiєю змiнною можна записати в загальному виглядi так f(x) = 0: (1)

Нехай функцiя f(x) визначена i неперервна на деякому промiжку [a; b]. Рiвняння (1) можна переписати наступним чином

якщо f(x) представити у виглядi .

Надалi будемо вважати, що рiвняння з однiєю змiнною записане у виглядi (1). Якщо в рiвняннi (1) функцiя f(x) – алгебраїчний многочлен, то рiвняння називається алгебраїчним. Якщо функцiя f(x) мiстить тригонометричнi, показниковi, логарифмiчнi функцiї чи їх композицiї, то рiвняння називають трансцендентним.

Число називається коренем рiвняння (1), якщо при пiдстановцi замiсть x числа рiвняння перетворюється в тотожнiсть. Корiнь рiвняння (1) ще називають нулем функцiї f(x).

Розв’язати рiвняння означає знайти множину всiх його коренiв, як дiйсних, так i комплексних. Основною задачею, що розглядається, є задача знаходження дiйсних коренiв рiвняння виду (1).

Процес розв’язування рiвняння з однiєю змiнною складається з двох етапiв: вiдокремлення коренiв та уточнення коренiв. На першому етапi потрiбно знайти вiдрiзки, на кожному з яких мiститься тiльки один корiнь рiвняння. Другий етап полягає у наближеному обчисленнi кожного з коренiв iз заданою точнiстю.

Графiчний метод. Якщо рiвняння записане у виглядi (1), то для вiдокремлення коренiв будують графiк функцiї y= f(x). Абсциси точок перетину графiка з вiссю Ox є коренями рiвняння, оскiльки вцих точках y = 0.

Для графiчного методу характерна невисока точнiсть, тому припущення про вiдокремленi коренi, як правило, перевiряють аналiтичним методом.

Аналiтичний метод базується на деяких властивостях неперервних функцiй, що вивчаються в курсi вищої математики.

Теорема 1 (iснування кореня). Якщо функцiя f(x) неперервна на вiдрiзку [a; b] i приймає на кiнцях цього вiдрiзка значення рiзних знакiв, тобто f(a)f(b)<0, то всерединi вiдрiзка [a; b] iснує принаймнi один корiнь рiвняння f(x) = 0.

Найпростішим з методів уточнення коренів є метод половинного ділення (метод дихотомії).

Обчислюємо середину відрізка с=(a+b)/2. Якщо f(a)×f(с)≤0, то корінь явно належить відрізку віж a до (a+b)/2 і в протилежному випадку – відрізку від (a+b)/2 до b.

Обираємо один з цихвідрізків, обчислюємо значення функції в його середині і т.д. до тих пір, поки довжина відрізка не виявиться меншою ніж задана абсолютна похибка (b-a)<ε.

Метод хорд. Iдея цього методу полягає в тому, що на досить малому вiдрiзку дуга кривої замiнюється хордою i абсцису точки перетину хорди з вiссю Ox приймають за наближене значення кореня рiвняння f(x) = 0.

Кожне наступне значення шукатиметься через попереднє за формулою

(1)

або (2)

Можна сформулювати двi простi ознаки того, коли слiд застосовувати формулу (1), а коли (2):

- в методi хорд нерухомим є той кiнець вiдрiзка [a; b], для якого знак функцiї спiвпадає зi знаком другої похiдної;

- якщо в iнтервалi (a; b) знаки першої i другої похiдної функції f(x) спiвпадають, тобто для всiх x (a; b) справедлива нерiвнiсть то нерухомим в методi хорд є правий кiнець вiдрiзка [a; b]; якщо знаки рiзнi, тобто виконується нерівність , то нерухомим є лiвий кiнець.

Описаний процес продовжують до тих пiр, поки не буде отримано наближений корiнь з заданою точністю.

Метод дотичних (метод Ньютона). Геометричний змiст методу дотичних полягає в тому, що дуга кривої y=f(x) замiнюється дотичною до цiєї кривої, проведеною до одного з кiнцiв вiдрiзка [a; b]. Наближене значення кореня знаходять як абсцису точки перетину цiєї дотичної з вiссю Ox.

Загальна формула методу дотичних має вигляд

Комбінований метод хорд i дотичних. Комбінуючи вище розглянутi методи, отримують новий метод знаходження дiйсних коренiв рiвняння f(x) = 0, перевагою якого є те, що послiдовнi наближення лежать по рiзнi боки вiд шуканого кореня, i тому можна слiдкувати в процесi обчислень за досягнутою точнiстю. Цей метод збiгається значно швидше, нiж два попереднi.

Суть комбiнованого методу полягає в наступному. До одного з кiнцiв вiдрiзка [a; b] застосовуємо метод хорд, а до iншого – методдотичних, враховуючи тип розміщення дуги кривої. У всiх чотирьох випадках справедлива наступна властивiсть: якщо формула методу хорд дає наближене значення кореня з недостачею, то формула методу дотичних – з надлишком, i навпаки. При цьому шуканий корiнь знаходиться мiж цими значеннями.