Построение прямых по экспериментальным точкам и определение угловых коэффициентов
Достаточно часто исследуемая зависимость представляет собой прямую вида y = kx + b, где y, x, k, b – конкретные физические величины. В частности, такие зависимости дает логарифмирование экспоненциальных кривых. При этом тангенс угла наклона этой прямой (угловой коэффициент) в большинстве случаев дает важную информацию о тех величинах, которые трудно определить путем прямых измерений. Например, тангенс угла наклона вольтамперной характеристики металлического проводника в соответствии с законом Ома равен 1/R, где R – сопротивление проводника; наклон зависимости логарифма сопротивления полупроводникового резистора от температуры позволяет определить ширину запрещенной зоны полупроводника и т.д. Для приближенного определения тангенса угла наклона прямой нужно по экспериментальным точкам провести прямую «на глаз» так, чтобы по обе стороны от нее оказалось одинаковое количество точек, а отклонения точек от прямой были бы минимальны. На проведенной прямой выбирают произвольно две точки, по возможности дальше отстоящие друг от друга, находят по шкалам на осях графика координаты этих точек (x1, y1) и (x2, y2) и вычисляют
.
Пример построения графика и определения
сопротивления металлического проводника
По результатам исследования его вольтамперной характеристики
Пусть в результате измерений получена следующая таблица значений силы тока в проводнике и напряжения на его концах:
Таблица
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
I, мА |
40 |
110 |
140 |
190 |
230 |
300 |
320 |
380 |
470 |
490 |
U, В |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
8,0 |
9,0 |
10,0 |
Зная, что для однородного металлического проводника справедлив закон Ома I = U/R, разумно аппроксимировать полученную зависимость прямой, исходящей из точки с координатами (I = 0, U = 0), и провести эту прямую так, как это показано на рис. 2 (на рис.3 для сравнения приведен пример неправильного построения графика этой же зависимости). Для определения сопротивления исследованного проводника найдем угловой коэффициент «k» этой прямой, взяв координаты крайних экспериментальных точек этой прямой (№ 1 и № 10) из графика: U1 = 1,0 B, I1 = 0,05 A, U2 = 10,0 B, I2 = 0,50 A. Тогда коэффициент (тангенс угла наклона) можно вычислить как
Ом-1.
Отсюда сопротивление проводника R = 1/k = 20,0 Ом.
Пример правильного построения графика
П
Рис. 2. Вольтамперная характеристика металлического проводника
ример
неправильного построения графика
Рис. 3. Вольтамперная характеристика металлического проводника
Экстраполяция и интерполяция
При экспериментальном изучении зависимости Y = f (x) мы получаем значения лишь для конечного числа значений аргумента х. Нахождение значений х в произвольных точках исследованной области называется интерполяцией; за пределами этой области – экстраполяцией. Для графической интерполяции достаточно по возможности тщательно провести по экспериментальным точкам кривую (или прямую) и найти значения х непосредственно из графика. Экстраполяция – прием, используемый в тех случаях, когда интересующую нас величину трудно измерить непосредственно в силу технических или временных ограничений.