Фазова швидкість дорівнює відношенню циклічної частоти до хвильового числа. Рівняння плоскої хвилі

Рівняння хвилі – це формула, яка дає змогу знайти зміщення s від положення рівноваги частинки координати якої x, y, z у момент часу . Уявімо собі джерело у вигляді нескінченної площини, перпендикулярної до осі x (рис 2) і розміщеної на початку координат, тобто при x=0. Кожна точка площини здійснює гармонічні коливання, рівняння яких:

Очевидно, що хвильові поверхні теж будуть плоскі і тому хвиля буде одновимірною. Розглянемо коливання в точці, коливається з тією самою частотою w, як і частинки біля джерела, і з амплітудою , але із запізненням. Час τ, який потрібен хвилі, щоб дійти до цієї точки,

Тому рівняння коливань частинок буде таким:

Ось так легко і просто ми отримали абсолютно правильне рівняння плоскої хвилі. У цьому рівнянні: s – зміщення частинки з положення рівноваги; – амплітуда коливань; x – координата частинки; t – момент часу; υ – фазова швидкість. Узявши до уваги, що , запишемо рівняння плоскої хвилі в іншому, більш поширеному вигляді:

Якщо хвиля поширюється у від’ємному напрямі осі x, то потрібно, змінити знак перед kx, тобто

У рівнянні хвилі дві змінні: x і y. Тому, коли з’являється необхідність графічно зобразити хвилю, будують залежність зміщення від часу s = s(t) при сталому x (рис 3), або залежність зміщення від часу s = s(t) при сталому часі (рис 4.) У першому випадку (рис 3) ми дістаємо звичайний графік гармонічних коливань для частинок координатами . Видно, що амплітуди і періоди обох коливань однакові, а фази – різні. У другому випадку (рис 4) ми отримаємо «миттєві знімки» біжучої хвилі для двох різних моментів часу , . На останньому графіку показано, що відстань між частинками, які здійснюють коливання в одній фазі (довжина хвилі), залишається сталою. У загальному випадку плоска хвиля може поширюватися не вздовж осі x, а в довільному напрямі. Тоді буде вже вектором,а положення точки слід задавати, як звичайно, за допомогоюрадіуса-вектора . Рівняння плоскої хвилі набере вигляду

Можна розписати скалярний добуток хвильового вектора на радіус-вектор .

І тоді рівняння набере вигляду

s( ) =

Напрям поширення хвилі збігається з напрямом хвильового вектора(рис. 5), а він перпендикулярний до хвильової поверхні.

Фазова швидкість хвилі Фазова швидкість хвилі залежить від пружинних та інерційних властивостей середовища. Дістанемо вираз фазової швидкості повздовжньої пружної хвилі, яка поширюється у твердому тілі. Якщо по торцю пружинного стрижня нанести ужар, то з’явиться ущільнення, яке почне поширюватися уздовж стрижня в з фазою швидкістю (рис 7). Позначимо тривалість удару через , а зміщення точок кінця стрижня за цей час - . За цей же час збудження (хвильовий фронт) встигне переміститися на відстань l. Фазова швидкість буде