А добротність

За цією формулою зручно визначати добротність, якщо відома залеж­ність амплітуди коливань від часу А(t).

Вимушені коливання

МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ

Рівняння руху

Компенсувати втрати енергії можна періодичним підведенням енергії до коливальної системи, Для цього достатньо докласти до системи збуджувальну сиву, яка періодично змінюється.

Тепер на систему будуть діяти три сили:

ПРУЖНА ПОВЕРТАЛЬНА СИЛА

СИЛА ОПОРУ

Збуджувальна сила

Зауважимо, що кожній силі відповідає свій елемент на схемі (рис). Силі інерції відповідає інерційна маса, пружній силі — пру­жина, силі опору — пластинка, занурена в посудину з в'язкою рідиною. Для збуджувальної сили передбачено такий елемент: постійний магніт, розміщений у котушці, по якій тече змінші струм.

Ще одне важлаве правило: кількість членів у диференціальному рів­нянні дорівнює кількості елементів на схемі та кількості всіх сил, з ура­хуванням сили інерції.

Згідно з другим законом динаміки

або

Поділивши на т і позначивши:

дістанемо ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ МЕХАНІЧНИХ КОЛИВАНЬ:

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з правою частиною. Перш ніж записувати розв'язок цього рівняння, спробуємо, уявити собі фізичну картину процесу.

За доволі тривалого впливу періодична зовнішня сила, напевне, змусить систему здійснювати коливання зі своєю частотою. Виконувана цією силою робота компенсує витрати енергії на роботу проти сили опору. Тому слід очікувати, що кінець кінцем буде досягнуто повної компенсації і надалі повна енергія системи вже не змінюватиметься, а буде сталою.

Але в такому разі коливання мають бути незгасаючими. Це станеться, звичайно, не відразу, а через деякий час, який називається ЧАСОМ ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ. За цей час відбудеться перехід від загасаючих коливань до незгасаючих.

Тому й розв'язок диференціального рівняння складається з двох членів — x₁ і х₂

Перший член

— це частина, яка відповідає загасаючим коливанням, тобто перехідному процесу.

Другий член

— це частина, яка відповідає незгасаючим коливанням, тобто усталеному, стаціонарному процесу.

З часом перехідний процес «вимирає», тобто х₁ стає набагато меншим за х_г. Тому залишається тільки рівняння стаціонарного процесу.

Отже, система здійснює незгасаючі гармонічні коливання, частота яких дорівнює частоті збуджувальної сили. Рівняння коливань за формою збігаються з рівнянням вільних незгасаючих коливань.

Амплітуда вимушених коливань визначається за формулою

Різниця фаз між зміщенням і збуджувальною силою

Амплітудні характеристики

А мплітудними характеристиками називають залежність амплітуди коливань А від частоти збуджува­льної сили . Власна частота коливань припускається сталою. Кожна крива відповідає фіксованому значенню коефіцієнта загасання коливань .

На рис. 5 зображено амплітудні

характеристики для чотирьох різних значень р.

З'ясуємо деякі особливості амплітудних

характеристик. Запишемо ще раз формулу для

амплітуди коливань

Коли , то для будь-яких значень амплітуда буде однією й тією самою:

По суті — це зміщення системи від положення рівноваги під дією сталої неперіодичної сили, яка дорівнює амплітуді збуджувальної сили. Воно називається СТАТИЧНИМ ЗМІЩЕННЯМ.

Коли , то амплітуда коливань прямує до нуля для всіх β . Це означає, що при дуже великій частоті зміни збуджувальної сили система не встигає зміщуватись із положення рівноваги через інертність При проміжних частотах амплітуда спочатку зростає, досягає максимуму, а потім зменшується.

Особливо різке збільшення амплітуди відбувається, коли відсутні сили опору. Як випливає з формулі для амплітуди, якщо , то амплітуда прямує до нескінченності.

Явище різкого зростання амплітуди в момент збігу частоти збуджувальної сили з власною частотою коливань систем називається РЕЗОНАНСОМ.

За відсутності сил опору енергія тільки додається до системи. А в разі збігу частоти збуджувальне сили з власною частотою не потрібно здійснювати роботу проти сили інерції, через що амплітуда і прямує до нескінченності. У реальних системах сили опору завжди є, тобто і амплітуда має скінченне значення. Частота, у якої амплітуда досягає максимального значений, називається РЕЗОНАНСНОЮ ЧАСТОТОЮ, і її легко знайти за загальним правилом відшукання екстремуму функції:

Резонансна частота залежить від сили опору і завжди менша від власної частоти.

З начення амплітуди в резонансі дістанемо, підставивша значення резонансної частоти у формулу для амплітуди:

Різним значенням коефіцієнта загасання відповідають різні значення добротності. Тому кожній кривій відповідає своє значення добротності. Чим більша добротність, тим вищий і вужчий резонансний пік. Якщо експериментально знайти амплітудні характеристики, то за ними можна визначити добротність. Це робиться так: будується графік залежності квадрата амплітуди від відносної частоти (рис 6). Проводиться горизонтальна лінія на рівні, який відповідає половині квадрата амплі­туди, і вимірюється ширина резонансного піка цьому місці ∆.

Вона називається ПІВШИРИНОЮ РЕЗОНАНСНОГО ПІКА.

А добротність .

Фазові характеристики

Фазовими характеристиками називають залежність різниці фаз між зміщенням і збуджувальною силою від частоти збуджувальної сили для дискретних значень коефіцієнта загасання коливань β. Такі характе­ристики зображено на рис. 3,4 згідно з формулою:

Коли , то для всіх β . Тобто різниця фаз при деяких зна­ченнях коефіцієнта загасання дорівнює .

Запитання для самоконтролю

1.Які процеси називають коливаннями? 2.Назвіть види коливань залежно від фізичної природи коливального процесу. 3.Які коливання називають періодичними? 4.Що таке період коливань? 5.Які коливання називаються вільними або власними? 6.Які коливання називають вимушеними? 7.Які коливання називають гармонічними? 8.Що є характерним для малих коливань? 9.Які коливання називають незгасаючими? 10.Виведіть диференціальне рівняння механічних вільних незгасаючих коливань (рівняння гармонічного осцилятора),запишіть його розв’язок і вирази для циклічної частоти та періоду. 11.Від яких параметрів залежить циклічна частота механічних власних незгасаючих коливань? 12.Що називають амплітудою коливань? 13.Що таке фаза коливань і початкова фаза? 14.З яких умов визначають амплітуду та початкову фазу вільних коливань ? 15.Що таке ізохронність коливань ? 16.Що називають частотою коливань? В яких одиницях вона вимірюється? 17.Знайдіть вирази для швидкості та прискорення механічних вільних незгасаючих коливань. Намалюйте графік зміщення, швидкості та прискорення від часу. Укажіть, який існує між фазовий зсув. 18.Виведіть вираз для повної енергії механічних вільних незгасаючих коливань. 19.Виведіть диференціальне рівняння механічних вільних згасаючих коливань, запишіть його розв’язок і вираз для циклічної частоти та періоду. Як змінюється амплітуда зміщення? Намалюйте графік. 20.Що таке коефіцієнт згасання? 21.Що таке релаксації? 22.Що таке логарифмічний декремент згасання, Чому він дорівнює? 23.Що називають добротністю коливальної системи? Чому вона дорівнює? 24.Що таке аперіодичний процес і за яких умов він виникає? Наведіть графічні приклади такого процесу. 25.Виведіть диференціальне рівняння вимушених механічних коливань, запишіть його розв’язок для усталеного процесу. 26.За допомогою векторної діаграми виведіть формули для амплітуди і зсуву фаз між вимушеними механічними коливаннями й зовнішньою силою у випадку усталеного процесу.