Векторное произведение векторов
Задача 1
Даны векторы
= 10,
= 2,
= 12.
Найти
.
Ответ: 16
Задача 2
Даны векторы = 3, = 26, = 72.
Найти .
Ответ:
Задача 3
Векторы
и
образуют угол
.
Зная, что = 1, = 2, вычислить:
и
.
Ответ: 3 и 10
Задача 4
Даны вектор (3;-1;-2) и (1;2;-1).
Найти
,
.
Ответ: 1) (5;1;7), 2) (10;2;14), 3) (20;4;28).
Задача 5
Даны точки А (2;-1;2), В (1;2;-1), С (3;2;1).
Найти координаты
векторных произведений
и (
-2
)
.
Ответ: (6;-4;-6) (-12;8;12).
Задача 6
Даны точки А (1;2;0), В (3;0;-3), С (5;2;6).
Вычислить площадь треугольника АВС.
Ответ: 14
Задача 7
Даны вершины треугольника точки А (1;-1;2), В (5;-6;2), С (1;3;-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на АС.
Ответ: 5
Задача 8
Вычислить sin угла, образованного векторами (2;-2;1), (2;3;6).
Ответ:
.
Смешанное произведение векторов
Задача 1
Вектор
перпендикулярен векторам
и
,
угол между которыми
.
Зная, что
=6,
=3,
=3,
вычислить смешанное произведение
Ответ:
Задача 2
Вектора
,
образующие правую тройку взаимно
перпендикулярны. Зная, что
=4,
=2,
=3,
вычислить смешанное произведение
векторов
Ответ:24
Задача 3
Установить
компланарны ли векторы
,
если
(2;3;-1), (1;-1;3), (1;9;-11)
(3;-2;1), (2;1;2), (3;-1;-2)
(2;-1;2), (1;2;-3), (3;-4;7)
Ответ:
1) Вектора компланарны;
2) Вектора не компланарны;
3) Вектора компланарны.
Задача 4
Доказать, что точки А (1;2;-1), В (0;1;5), С (-1;2;1), D (2;1;3) лежат в одной плоскости.
Задача 5
Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках:
А (2;-1;1), В (5;5;4), С (3;2;-1), D (4;1;3).
Ответ: 3.
Задача 6
Даны вершины тетраэдра А (2;3;1), В (4;1;-2), С (6;3;7), D (-5;-4;8).
Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
Ответ: 11
Задача 7
Объём тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А (2;1;-1), В (3;0;1), С (2;-1;3).
Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси OY.
Ответ:
Уравнение прямой на плоскости
Задача 1
Даны уравнения двух сторон параллелограмма : 8х+3у+1=0 и 2х+у-1=0. Уравнение одной из диагоналей 3х+2у+3=0 . Определить координаты вершин параллелограмма.
Ответ: A(1, -3), B(-2, 5), C(5, -9), E(8, -17).
Задача 2
Найти точку Q симметричную точке D (-5; 13) относительно прямой
2х-3у-3=0
Ответ: (11; -11)
Задача 3
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (4; -1), а также уравнение высоты: 2х-3у+12=0 и медианы 2х+3у=0, проведённой их первой вершины.
Ответ:
уравнение АВ имеет вид 9х+11у+5=0
уравнение АС имеет вид 3х+7у-5=0
уравнение ВС имеет вид 3х+2у-10=0
Задача 4
Определить при каких значениях m и n, две прямые:
mх+8у+n=0
2x+my-1=0
1) Параллельны
2) Совпадают
3) Перпендикулярны
Ответ:
Задача 5
Определить угол, образованный двумя прямыми:
1) 3х-у+5=0, 2х+у-7=0
2)х
+у
-2=0,
х
-3у+3=0
Ответ:
30о
45o