§3 Абсолютная и условная сходимость.

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость .

Решение:

Данный ряд знакопеременный, поэтому исследуем его на абсолютную сходимость. Применим обобщенный признак Даламбера:

.

Следовательно, ряд сходится абсолютно.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость .

Решение:

Применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий признака:

а) , то есть члены ряда по модулю монотонно убывают. Первое условие признака выполнено;

б) .

Второе условие не выполнено и ряд расходится.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость .

Решение:

Данный ряд знакопеременный, поэтому исследуем его на абсолютную сходимость. Составим ряд из модулей членов исходного ряда: .

Применим признак сравнения. Сравним члены данного ряда с членами обобщенного гармонического ряда , который расходится: . Так как ряд с меньшими членами расходится, то и ряд с большими членами так же расходится.

Итак, ряд, составленный из модулей членов исходного ряда расходится, поэтому продолжим исследование исходного ряда на условную сходимость. Для этого применим признак Лейбница.

Проверим выполнение условий признака:

а) , то есть члены ряда по модулю монотонно убывают. Первое условие признака выполнено;

б) . Второе условие выполнено.

Таким образом, исходный ряд сходится условно.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница:

1. 

2. 

3. 

4. 

Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Ответы:

1) сходится; 2) сходится; 3) расходится; 4) сходится; 5) сходится абсолютно; 6) сходится абсолютно; 7) сходится абсолютно; 8) сходится абсолютно; 9) сходится условно; 10) сходится условно; 11) сходится условно; 12) сходится условно; 13) расходится; 14) сходится абсолютно.

§4 Функциональные ряды.

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда

Решение:

Применим обобщенный радикальный признак Коши:

.

Что бы ряд сходился, получившийся предел должен быть меньше 1. Решив неравенство

получаем

Исследуем ряд при Получим знакочередующийся ряд . Этот ряд по признаку Лейбница сходится условно.

Таким образом, заданный ряд сходится при .

Пример 2. Найти радиус сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем радиус сходимости по формуле .

Получаем, что ряд сходится в круге . Исследуем ряд на границе круга, то есть при .

Если имеем . Этот ряд расходится.

Если имеем Этот ряд сходится условно.

Таким образом ряд сходится при .

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение:

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив в разложении функции на , получим:

.

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютному значению меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов. Следовательно, .

Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения соответствующее начальным условиям , в виде степенного ряда, найдя первые четыре ненулевые члена разложения. Составить таблицу полученного решения с шагом на отрезке и построить его график. Вычисления вести с точностью до .

Решение:

Частное решение данного уравнения будем искать в виде степенного ряда

Из начального условия: . Найдем значения .

.

Найдем вторую производную:

.

Найдем третью производную:

Подставляем найденные значения в степенной ряд:

.

Получили приближенное частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:

.

Составим таблицу значений полученного решения:

	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	1	1,092	1,201	1,328	1,476	1,645

Построим график по найденным точкам: