2.Метод проекций. Способы проецирования

Проекцией точки А на плоскость проекций π₁ называется точка А₁ пересечения проецирующей прямой   с плоскостью проекций π₁, проходящей через точку А, (рис. 1):

Проекция любой геометрической фигуры есть множество проекций всех ее точек. Направление проецирующих прямых   и положение плоскостей π₁ определяют аппарат проецирования.

Центральным проецированием называется такое проецирование, при котором все проецирующие лучи исходят из одной точки S – центра проецирования (рис. 2).

Параллельным проецированием называют такое проецирование, при котором все проецирующие прямые параллельны заданному направлению S (рис. 3).

.

Рисунок 1 – Проекция точки А на плоскость проекций π₁

.

Рисунок 2 – Пример центрального проецирования

.

Рисунок 3 – Пример параллельного проецирования

Параллельное проецирование представляет собой частный случай центрального проецирования, когда точка S находится на бесконечно большом расстоянии от плоскости проекций π₁.

При заданном аппарате проецирования каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости проекций.

Одна проекция точки не определяет положения этой точки в пространстве. Действительно, проекции А₁ может соответствовать бесчисленное множество точек А^’, А^’’, …, расположенных на проецирующей прямой  (рис. 4).

Для определения положения точки в пространстве при любом аппарате проецирования необходимо иметь две ее проекции, полученных при двух различных направлениях проецирования (или при двух различных центрах проецирования).

.

Рисунок 4 – Пример расположения множества точек на проецирующей прямой

Так, из рис. 5 видно, что две проекции точки А (А₁ и А₂), полученные при двух направлениях проецирования S₁ и S₂ , определяют единственным образом положение самой точки А в пространстве – как пересечение проецирующих прямых   ₁ и   ₂, проведенных из проекций А₁ и А₂ параллельно направлениям проецирования S₁ и S₂.

Рисунок 5 – Определение положения точки А в пространстве

3.Ортогональное проецирование

3 Ортогональное проецирование

Направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций S   π₁ (рис. 7). Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования.

Ортогональное проецирование находит широкое применение в инженерной практике для изображения геометрических фигур на плоскости, т. к. обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием к которым можно отнести:

.

Рисунок 6 – Пример инвариантного свойства 9

.

Рисунок 7 – Ортогональная проекция прямого угла

а) простоту графических построений для определения ортогональных проекций точек;

б) возможность при определенных условиях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры.

Указанные преимущества обеспечили широкое применение ортогонального проецирования в технике, в частности для составления машиностроительных чертежей.

Для ортогонального проецирования справедливы все девять инвариантных свойств, рассмотренных выше. Кроме того, необходимо отметить еще одно, десятое, инвариантное свойство, которое справедливо только для ортогонального проецирования.

10. Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис. 7)

На рис. 1.11 показан прямой угол АВD, обе стороны которого параллельны плоскости проекций π₁. По инвариантному свойству 9 этот угол проецируется на плоскость π₁ без искажения, т. е.   А₁В₁D₁=90°.

Возьмем на проецирующем луче DD₁ произвольную точку С, тогда полученный   АВС будет прямым, т. к. АВ   ВВ₁DD₁.

Проекцией этого прямого угла АВС, у которого только одна сторона АВ параллельна плоскости проекций π₁, будет прямой угол А₁В₁D₁.