Лабораторная работа №3

Крутое восхождение по поверхности отклика

1. Цель работы

Целью данной лабораторной работы является приобретение практических навыков оптимизации процессов методом крутого восхождения, используя факторное планирование, регрессионный анализ и движение по градиенту.

2. Теоретические сведения

Наиболее короткий путь к оптимуму – направление градиента функции отклика. Градиент непрерывной однозначной функции  есть вектор

,

где  – обозначение градиента,  – частная производная функции по i-му фактору, i, j, k – единичные векторы в направлении координатных осей.

Следовательно, составляющие градиента суть частные производные функции отклика, оценками которых являются, коэффициенты регрессии. Поэтому процедура движения к почти стационарной области называется крутым восхождением.

Величины составляющих градиента определяются формой поверхности отклика и теми решениями, которые были приняты при выборе параметра оптимизации, нулевой точки и интервалов варьирования. Знак составляющих градиента зависит только от формы поверхности отклика и положения нулевой точки.

Выбор шага движения по градиенту имеет значение на поиск оптимума. Небольшой шаг потре­бует значительного числа опытов при движении к оптимуму, большой шаг увеличивает вероятность проскока области оптимума.

Движение по градиенту начинается из нулевой точки, центра плана. Движение проводится только по значимым факторам. Функция, величины коэффициентов которой различаются не существенно, называется симметричной относительно коэффициентов. Движение по градиенту для симметричной функции наиболее эффективно. Удачным выбором интервалов варьирования можно сделать симметричной любую линейную функцию для значимых факторов. Если функция резко асимметрична (коэффициенты различаются на порядок), то выгоднее вновь поставить эксперимент, изменив интервалы варьирования, а не двигаться по градиенту.

Рассчитав составляющие градиента получают усло­вия мысленных опытов. Число мысленных опытов ограничивается сверху границей области определения по одному из факторов. Обычно рассчитывается 5–10 мыс­ленных опытов.

Существует две стратегии реализации мысленных опытов. Все намеченные к реали­зации опыты ставятся одновременно либо последовательно по некоторой программе. Последова­тельный принцип заключается в том, что вначале ставятся два-три опыта, анализируются результаты и принимается решение о постановке новых опытов.

Крутое восхождение считается эффективным, если хотя бы один из реализованных опытов даст лучший результат по сравнению с наилучшим опытом серии.

Иногда приходится считаться с возможностью вре­менного дрейфа. Между исходной серией опытов и движением по градиенту может пройти значитель­ное время. Здесь можно рекомендовать систематическое повторение нулевых точек исходного плана, рандомизированных с точками крутого восхождения. Это дает воз­можность проверить гипотезу о наличии дрейфа.  Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменой температуры, сырья, лаборанта и т. д.), рекомендуется случайная пос­ледовательность при постановке опытов, запланированных матрицей. Опыты необходимо рандомизировать во времени. Термин «рандомизация» происходит от английского слова random – случайный.

При эффективном крутом восхождении возможны два исхода: область оптимума достигнута или область оптимума не достигнута [2]. Перечисленные два варианта принятия решений следуют из концепции Бокса–Уилсона согласно которой задача оптимизации условно разбиваете на два этапа. Первый этап – крутое восхождение с целью скорейшего достижения области оптимума. При этом используется линейное планирование. Линейный план может использоваться один или несколько раз в зависимости от интенсивности продвижения. Второй этап – описание области оптимума методами нелинейного планирования [1]. Если область оптимума не достигнута, в этом случае строится линейный план следующего цикла и исследование продолжается.

В случае, если крутое восхождение неэффективно. Положение оптимума неопределенное. Нет информации о положении оптимума, и на стадии крутого восхождения не удалось улучшить значение параметра оптимизации, то можно рекомендовать поставить опыты в центре эксперимента с тем, чтобы оценить вклад квадратичных членов. При значимой сумме можно приступать к достройке линейного плана до плана второго порядка, так как наличие квадратичных членов свидетельствует о близости к почти стационарной области.

Пример. Рассмотрим задачу, связанную с поиском оптимальных условий протекания процесса. Параметр оптимизации «у» зависит от четырех факторных переменных z₁, z₂, z₃, z₄. Для планирования эксперимента была выбрана полуреплика 2^4-1 с определяющим контрастом 1=х₁х₂х₃х₄. В таблице 1 приведены условия кодирования и матрица планирования с результатами опытов. По восьми опытам матрицы планирования вычисляем параметры уравнения регрессии в кодированных значениях переменных:

y = 0,0651 + 0,0192x₁ + 0,0207x₂ – 0,013x₃ – 0,007x₄

Дисперсия воспроизводимости опытов равна 0,017 при числе степеней свободы f=8.

Поскольку линейные эффекты оценивались независимо от парных взаимодействий, крутое восхождение проводилось по градиенту линейного приближения.

Таблица 1 – Планирование эксперимента 2^4-1 и крутое восхождение по поверхности отклика

	z1	z2	z3	z4	y
Основной уровень Интервал варьирования Верхний уровень Нижний уровень	3 2 5 1	30 10 40 20	1,5:1 1:1 2,5:1 0,5:1	15 10 25 5
Кодированные значения переменных Опыт 1 Опыт 2 Опыт 3 Опыт 4 Опыт 5 Опыт 6 Опыт 7 Опыт 8	х1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1	х2 -1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 +1	х3 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 +1	х4 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 +1	у 0,0206 0,0340 0,0309 0,0499 0,1515 0,0922 0,0825 0,05955
Коэффициенты регрессии bi bi*инте6рвал варьирования bi*инте6рвал варьирования*25 Округление шага крутого восхождения Фактические значения переменных Мысленный опыт в центре плана Мысленный опыт 1 Мысленный опыт 2 Мысленный опыт 3 Мысленный опыт 4 Мысленный опыт 5	0,0192 0,0384 0,96 1 z1 3 4 5 6 7 8	0,0207 0,207 5,17 5 z2 30 35 40 45 50 55	-0,013 -0,013 -0,325 -0,3:1 z3 1,5:1 1,2:1 0,9:1 0,6 0,3 0	-0,007 -0,07 -1,75 -2 z4 15 13 11 9 7 5	y 0,0651 0,0905 0,1157 1,1412 1,1666 1,1912

Опыты крутого восхождении реализуются с использованием фактических значений факторных переменных (табл. 1). Результаты мысленных опытов должны вычисляться по уравнению регрессии, выраженному через фактические переменные. Для получения регрессионного уравнения, записываемого с помощью фактических переменных, необходимо воспользоваться формулой где - основной уровень факторной переменной; - интервал варьирования факторной переменной.

После подстановки получаем уравнение регрессии, выраженное с помощью фактических переменных:

y = 0,00485 + 0,00958z₁ + 0,00207z₂ – 0,0134z₃ – 0,007z₄

После пятого опыта (табл.1) дальнейшее движение по градиенту невозможно реализовать, т.к. переменная z₃ приняла значение, равное нулю. Дальнейшие эксперименты теряют смысл.

Нельзя утверждать, что при крутом восхождении найдено наилучшее решение, тем не менее, после пяти опытов показатель эффективности протекающего процесса улучшен примерно в восемь раз по сравнению с результатами пятого опыта (1,1912/0,1515).