Занятие 2.

Тема занятия: «Множества. Числовые множества. Элементы теории множеств.»

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.

2. Разбор заданий под руководством преподавателя.

3. Самостоятельное выполнение заданий.

Методические материалы.

Алгебра множеств.

Мы познакомились с основными действиями над множествами — сложением, вычитанием и умножением (пересечением) множеств. Эти действия обладают целым рядом свойств, напоминающих свойства действий над числами.

Роль нуля и единицы в действиях над множествами играют множества  (пустое множество) и I (универсальное множество).

Приведем список свойств действий над множествами:

1) AA.

2) Если AB и BA, то A=B.

3) Если AB и B C, то AC.

4) A.

5) AI.

6) A+B =B +A.

7) AB =BA.

8) A+(B +C)= (A+B)+ C.

9) A(BC)= (AB)C.

10) A+A=A.

11) AA=A.

12) A(B +C)=AB +AC.

13) A+BC =(A+B)(A+C).

14) A+=A.

15) AI =A.

16) A+I =I.

17) A=.

18) Соотношение AB эквивалентно каждому из соотношений A+B =B, AB =A.

19) A+A'=I.

20) AA'=.

21) '=I.

22) I' =.

23) (A')'=A.

24) Соотношение AB эквивалентно B'A'.

25) (A+B)' =A'B'.

26) (AB)0 =A' +B'.

Отметим следующее замечательное .соотношение двойственности. Если в каждом из свойств 1)–26) заменить друг на друга символы  и ,  и I,  и , то в результате получится снова одно из этих свойств.

Задания.

1. Упростить далее выражение (A+B)^2 =A^2 +B^2 +2AB. Ответ: A+B.

2. Доказать распределительный закон для множеств A+BC =(A+B)(A+C).

3. Доказать A+(B−C)НЕ=(A+B)−C для случая A=B=C.

Решение. A+B =A и потому (A+B)−C=A−A= — пустое множество, а A+(B−C)=A+=A

4. Доказать следующие формулы: (A+B)' =A'B' и (AB)' =A' +B' (на диаграмме).

5. Пользуясь правилами алгебры множеств, упростите выражение (A+B+C)(A+B)−[A+(B−C)]A.

6. Докажите равенства

а) (A−B)−C =(A−C)−(B −C);

б) (A−B)+(B −C)+ (C −A)+ ABC =A+B +C.

7. Докажите включение мноржеств AC +BD _(A+B)(C +D);

8. Вытекает ли из A−B =C, что A=B +C?

9. Вытекает ли из A=B +C, что A−B =C?

10. Какие включения справедливы для множеств A−(B +C) и (A−B)−C?

11.Упростите выражение [(X−Y)’(X’ +Y’)]’.

Занятие 3.

Тема занятия: «Делимость многочленов, деление с остатком. Симметрические многочлены и основная теорема. Неприводимые многочлены. Многоугольник Ньютона и критерий Дарбу о неприводимости. Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида.»

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.

2. Разбор заданий под руководством преподавателя.

3. Самостоятельное выполнение заданий.

Методические материалы.

Многочлен n-ной степени от неизвестного х:

Для сокращенной записи многочленов употребляются символы f(x), g(x) и так далее.

Сложение (вычитание) многочленов.

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов:

(2x+3y)+(-5x+3y-4)=2x+3y-5x+3y-4=-3x+6y-4; (4x-5y)-(-x-4y)=4x-5y+x+4y=5x-y.

Умножение многочленов.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен и сложить полученные произведения.

(-5a)(4-b-a²)=-20a+5ab+5a³;

(2+b)(b²-4)=2b²-8+b³-4b.

Деление многочленов.

Многочлен делится на многочлен , если существует такой многочлен , что выполняется равенство

Например, из равенства следует, что делится на многочлен и на многочлен .

Многочлен в равенстве называется частным от деления на , а – делителем.

Основные свойства делимости многочленов:

1. Если делится , а делится на , то будет делиться на .

2. Если и делятся на , то их сумма и разность также делятся на .

3. Если делится на , то произведение на любой многочлен также будет делиться на .

4. Если каждый из многочленов делится на , то на будет делиться и многочлен , где - произвольные многочлены.

5. Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени.

6. Если делится на , то делится и на с* , где с – произвольное число отличное от нуля.

7. Многочлены , , и только они будут делителями многочлена , имеющими такую же степень, что и .

8. Тогда и только тогда многочлены , одновременно делятся друг на друга, если , .

9. Всякий делитель одного из двух многочленов , , где , будет делителем и для другого многочлена.

Деление многочленов с остатком.

Теорема о делении с остатком. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x) , что

f(x)=g(x)q(x)+r(x),

причем степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно.

Наибольший общий делитель многочленов.

Пусть даны произвольные многочлены и . Многочлен будет называться общим делителем для и , если он служит делителем для каждого из этих многочленов.

К числу общих делителей многочленов и принадлежат все многочлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочлена не имеют, то они называются взаимно простыми.

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов и называется такой многочлен , который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Алгоритм Евклида – метод для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также двух многочленов от одного переменного. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов и состоит в последовательном делении с остатком на , затем на первый остаток , затем на второй остаток и так далее. Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы дойдем до такого места, на котором деление совершится нацело и процесс остановится. Последний отличный от нуля остаток , на который нацело делится предыдущий остаток , и является наибольшим общим делителем многочленов и .

Наибольший общий делитель двух многочленов определен лишь с точностью до множителя нулевой степени.

Симметрические многочлены от трех переменных.

В многочлене от трех переменных x, y, z перестановок можно сделать три: можно поменять местами x и y, или x и z, или, наконец, y и z. Назовем многочлен ƒ(x, y, z) от трех переменных x, y, z симметрическим, если при любой из этих трех перестановок он остается неизменным:

ƒ(x, y, z)=ƒ(y, x, z)=ƒ(z, y, x)=ƒ(x, z, y).

Наиболее простыми являются симметрические многочлены

x+y+z, xy+xz+yz, xyz.

Их называют элементарными симметрическими многочленами от трех переменных x, y, z и обозначают через , , :

Основная теорема о симметрических многочленах от трех переменных.

Теорема. Любой симметрический многочлен от x, y, z можно представить в виде многочлена от , , .

Основные формулы необходимые для решения задач:

x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²=

x²y²+x²z²+y²z²=

x³y+xy³+x³z+xz³+y³z+yz³=

Неприводимый многочлен.

Неприводимый многочлен - это многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени.

Задания.

№ 1. Для каких целых чисел n число является простым.

Решение.

Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя; целое отрицательное число k называется простым, если число –k простое.

Для ответа на поставленный вопрос заметим, что справедливо равенство

и поэтому число делится на и на Следовательно, оно может быть простым только в случае, когда один из этих делителей равен 1 или –1, т.е. выполняется хотя бы одно из равенств

Остается проверить следующие значения n: 3, 1, 0, -3, -1 и –2. При этих значениях n рассматриваемое число равно соответственно 19, -5, 3, 4, так что искомое множество чисел есть

№ 2. Найти частный и остаток от деления на .

1. и

Решение.

|

Частным от деления на является многочлен , остатком – .

2. и

№ 3. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

1. и

2. и

Разделить многочлен f(x) на многочлен g(x):

1. , ;

2. , ;

3. , ;