§2. Практическая часть Пример 1

Найдите натуральные числа m и n, удовлетворяющие соотношению ( ,n=1,2,3…).

Решение.

При первое и второе слагаемые в левой части соотношения делятся на 3. Следовательно, в этом случае остаток от деления левой части на 3 определяется числом 23 и равен 2. Но, из таблицы остатков при делении на 3, остаток от деления m² на 3 не может быть равен 2, поэтому в ответе не могут быть числа . Подставляя в заданное соотношение и , находим два решения: , и , .

Ответ: , и , .

Пример 2

Найдите натуральные числа k и m, удовлетворяющие соотношению .

Решение.

При первое слагаемое в левой части соотношения делится на 9. Следовательно, в этом случае остаток от деления левой части на 9 определяется числом 86 и равен 5. Но, из таблицы остатков при делении на 9, остаток от деления m³ на 9 не может быть равен 5, поэтому в ответе не могут быть числа . Подставляя в заданное соотношение , находим решение , .

Ответ: , .

Пример 3

Если в натуральном числе первую цифру поменять с последней цифрой, то число увеличится на 75%. Найдите все такие двузначные числа.

Решение.

Пусть первая цифра искомого числа равна a, а вторая цифра равна b, т.е. число равно 10a+b. Если цифры поменять местами, получится число 10b+a. Так как при увеличении числа на 75% оно умножается на коэффициент , то справедливо соотношение или . Соответствующие цифры легко подбираются.

Ответ: 12, 24, 36, 48.

Пример 4

Найдите все простые k, для каждого из которых найдется натуральное число n такое, что дробь сократима на число k.

Решение.

Прежде всего заметим, что если дробь сократима, то числитель имеет общий множитель с одним из множителей знаменателя.

Докажем, что числитель не может иметь общих простых делителей с первым множителем знаменателя . В самом деле, разность этих чисел равна 7, и таким общим множителем может быть только простое число 7. Но тогда число n² должно иметь остаток 3 при делении на 7, что невозможно. Для проверки этого можно, как показано в первом параграфе, рассмотреть квадраты всех возможных остатков при делении на 7.

Со вторым множителем знаменателя таким делителем может быть только простое число 3, т.к. разность числителя и этого множителя равна 9. Причем такое действительно возможно, если, например, n=1.

Поделив числитель на третий множитель знаменателя, мы получим тождество . Если первая дробь в этом тождестве сократима, то сократима и последняя, причем на число 47.

Ответ: , .

Пример 5

Найдите пары целых чисел (x, y), удовлетворяющих уравнению .

Решение.

Квадратичная часть уравнения имеет отрицательный дискриминант, поэтому в произведение выражение преобразовать не удается. А вот сумму квадратов выделить можно.

Заданное уравнение запишем в виде . Если сумма квадратов двух чисел равна 10, то эти числа и могут быть лишь числами: 1 и 3, -1 и -3, 3 и 1, -3 и -1. Решив соответствующие 4 системы уравнений получим ответ.

Ответ: , , , , , , ,

Пример 6

Разность двух натуральных чисел равна 32, а отношение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя этих чисел равно 161. Найдите эти числа.

Решение.

Разность натуральных чисел делится без остатка на их наибольший общий делитель. Поэтому найдем все возможные значения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Так как произведение натуральных чисел равно произведению их НОКа и НОДа, то получим несколько вариантов системы для определения искомых чисел.

Пусть искомые числа равны k и n=k+32. Так как разность натуральных чисел равна 2⁵, то наибольшим общим делителем могут быть только числа: 1,2,4,8,16.32. Умножая квадраты этих чисел на 161, мы найдем, что произведение искомых чисел p соответственно равно: 161,644,2576,10304,41216. Для нахождения k получим квадратное уравнение . Искомый корень будет натуральным числом только при p=644.

Ответ: 14 и 46.