2. Теоретические упражнения

1. Найти производную (если она существует) функции

в точках х₁ = 0.5, х₂ = —0.5, х₃ = 0.

Решение:

2. Показать, что функция изменяется монотон­но в любом интервале из области ее существования.

Решение:

Т. К. Корни получились чётной кратности, следовательно знак производной не изменяется, следовательно функция изменяется монотон­но в любом интервале из области ее существования.

3. При каких значениях параметра а функция

непрерывна? Постройте ее график.

Решение:

4. Выяснить вид графика функции у = f(x), если известно, что в интервале (а; b) :

(1) у>0, y' >0, у"<0; (2) у>0, у' <0, у">0.

Решение:

x

5. Найти асимптоты линии

6. Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

Решение:

7. Доказать, что всякий четный многочлен с положитель­ными коэффициентами является выпуклым вниз и имеет только одну точку минимума.

Решение:

─ min + x

1

8. Доказать, что уравнение x⁵ + 3x—6 = 0 имеет единствен­ный действительный корень.

Решение:

x⁵ = — 3x + 6

y₁= x⁵ —возрастающая функция;

y₂= — 3x + 6 — убывающая функция.

y₁ и y₂= могут пересечься один раз.

Уравнение x⁵ + 3x—6 = 0 имеет единствен­ный действительный корень.

9. Доказать, что если дифференцируемая функция четна (нечетна), то ее производная нечетна (соответственно чет­на).

Решение:

y=x2k — чётная функция.

y=2kx2k-1 — нечётная функфия.

y=x2k-1 — нечётная функфия.

y=(2k-1)x2(k-1) — чётная функция

10. Выполняется ли на отрезке [—1, 2] теорема Ролля для функции у = х³ + 4х² — 7х — 10?

Решение:

При x= —1, y=0; при x= 2, y=0;

y’=3x2+8x — 7

y’=0

3x2+8x — 7=0

x₁ 0.69 или x₁ — 3.36

Теорема Ролля для функции у = х³ + 4х² — 7х — 10 на отрезке [—1, 2] не выполняется.

3 Задачи

Исследовать функции y=y(x) и построить их графики:

1. Исследование:

   1. D(y): (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );

   2. E(y): (- ;+ );

   3. Функция общего вида;

   4. Функция не периодическая;

   5. Функция имеет разрывы:

      1. x=0 у=3;

      2. y=0 x — таких точек нет.

      3. x→+ ; y→0;

x→- ; y→0;

4. x=2 и x= — 2 точки разрыва второго рода.

x → -2+0; y→ + ;

x→ -2+0; y→ - ;

x→2+0; y→ - ;

x→2-0; y→ + ;

5. 

1. Асимтоты:

x = —2; x = 2 —вертикальные асимптоты;

y = 0 —горизонтальные асимтоты.

7. Ф ункция дифференцируема на (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );

8. 

Уmin=3 при x=0.

9. Функция дважды дифференцируема на (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );

10. П

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    -1

    -2

    -3

    -4

    -5

    -6

    -7

    -8

    -9

    -10

    остроение графика функции:

2. Исследование:

   1. D(y): [1;+ );

   2. E(y): (0;1];

   3. Функция нечётная;

   4. Функция не периодическая;

   5. Функция непрерывная:

      1. x=0 у — таких точек нет;

      2. y=0 x — таких точек нет.

      3. x→+ ; y→0;

x→- ; y→0;

4. Т

   x

   1

   очки разрыва нет.

5. 

1. Асимтот нет.

2. Функция дифференцируема на (1;+ );

Уmax=1 при x=2.

9. Построение графика функции:

y

2

1

-1

x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

8