Практическое занятие 6. Расчет технологических показателей при разработке нефтяных месторождениях с использованием интеграла Дюамеля

Цель работы: Определение технологических показателей при разработке нефтяных месторождениях с использованием интеграла Дюамеля.

Интеграл Дюамеля имеет вид:

 ^ q

^pкон ^{( )  p} ^ _{2  kh} ^  _^зв^f^(1,^^^^)d

0

Данный интеграл используется для расчета изменение давления на контуре при переменном во времени q_зв = q_зв(τ) (рис.6).

qзв

qзв2

qзв1

qзв0

λ 1 λ2 λ3 λ

Рисунок 6. Схема изменения давления на контуре питания во времени

Задача 9. Внешний и внутренний контуры нефтеносности однопластового нефтя ого месторождения имеют форму, близкую к окружностям (рис. 14). Площадь месторождения можно представить в виде круга радиус м R =2000 м. Нефтяная залежь окружена обширной водоносной областью, из к торой в нефтеносную часть пласта поступает вода при снижении пластового давления в процессе разработки месторождения.

Начальное пластовое давление ^р0 =20 МПа, давление насыщения нефти газом ^рнас =9 МПа, газосодержание Г₀=50 м³/т.

По данным гидродинамических и лабораторных исследовании установлено, что средняя проницаемость как нефтеносной, так и водоносной частей пласта одинакова и составляет 0,5∙10^-12 м². Толщина пласта в среднем h=10 м; средняя пористость т=0,3; начальная нефтенасыщенность s_Н0=0,95; насыщенность пласта связанной водой S_св=0,05. Вязкости нефти и воды в пластовых условиях равны соответственно: µ_н=2,0 мПа∙с, µ_в =1,0 мПа∙с. Плотность пластовой нефти ρ_н =0,85 т/м³, воды ρ_н=1,0 т/м³. Объемный

20

коэффициент нефти b_н=1,2. Коэффициент упругоемкости пласта β = 5∙10^-10 Па^-1.

Средний дебит жидкости одной скважины q_ж= 69,1 м³/сут.

Месторождение разбуривается по равномерной сетке.

Добыча жидкости из месторождения изменяется во времени следующим образом:

_{qж(t) =}^0^t _{при 0≤}t  t^*

q_max при ^{t f t*}

где ^t* — время ввода месторождения в разработку ( ^t* = 3 года); ^0 = 0,667∙10⁶ м³/год². Коэффициент эксплуатации скважин λ_э = 0,9.

Для рассматриваемого месторождения известны данные зависимости текущей обводненности продукции v от отношения ^Qн ^{ Q}н ^{/ N}н (^Qн -

накопленная добыча нефти, ^Nн — извлекаемые запасы н фти). Считается, что эта зависимость будет справедливой в течение всего рассматриваемого срока разработки.

Требуется определить в условиях разработки месторождения при упругом режиме в законтурной области пласта:

1. изменение в процессе разработки за 15 ет (по годам) среднего пластового давления в пределах нефтяной залежи;

2. изменение добычи нефти, воды, текущей нефтеотдачи и обводненности продукции при заданной динамике до ычи жидкости в течение 15 лет.

Решение.

1. Определение запасов нефти и газа, числа скважин и темпа разработки. Геологические з п сы нефти определим объемным методом по формуле

G_н=Shm(1-S_cв)

где S — площадь залежи, равновеликая площади круга с радиусом R(S=πR² =3,14∙2² ∙10⁶ = 12,56∙10⁶ м²).

Тогда запасы нефти

G_н=12,56∙10⁶ ∙10∙0,3(1-0,05) =35,8∙10⁶ м³

или в поверхностных условиях

G_н^{* =}35,8∙10^6ρн/bн= 35,8∙10⁶∙0,85/ 1,2 =25,4 млн. т.

Определим максимальный дебит жидкости, получаемый в конце периода разбуриваиия месторождения.

Имеем

q_max=α₀t^*=0,667∙10⁶∙ 3 =2∙10⁶ м³/год.

Число скважин, которые необходимо пробурить для отбора из месторождения q_max=2∙10⁶ м³/год, определим с учетом коэффициента эксплуатации скважин, указанного в условиях задачи.

Получаем

21

n 	qmax		2106	 88
	э 365qж		0,936569,1

Вычислим параметр плотности сетки скважин. Имеем

Sс 	S		12,56106		 14,27104	м2
	n			88		скв

2. Расчет изменения среднего пластового давления во времени.Аппроксимация решения Карслоу и Егера, Ван Эвердингена-Херста, сделанная Ю. П. Желтовым была применена при решении задачи 2.3, в которой рассматривался приток воды из законтурной области пласта к нефтяной залежи круговой формы с постоянным дебитом.

Однако по условию данной задачи в период разбуривания месторождения объемы воды, поступающей из законтурной области, и, следовательно, отбираемой жидкости из пласта — переменные во времени.

Поэтому для расчета давления на контуре нефтяного месторождения P_кон(t) необходимо использовать интеграл Дюамеля, согласно которому

	вt		dqж ( )
Pкон(t)= р0 		0		f (t  )d
	2kh		d

Для дальнейших расчетов удобно ввести в рассмотрение безразмерное время τ в виде

хt

_τ= R²

В этом случае интеграл Дюамеля запишется следующим образом:

	вt		dqж ( )
Pкон(t)= р0 		0			f (t  )d
	2kh			d
В условии задачи qж з висит от физического времени t. В интеграл же
				dqж ()
						Поэтому найдем зависимость qж = qж ( ) или, что
необходимо подставить				d

то же самое, ^qж = ^qж ^() .Имеем

^dq_dt^ж  ^dq_d^ж  ^d_dt^  ^dq_d^ж  _R^x₂

О сюда

• _ ^dqж _ ^x _ ^dqж _ ^0 ^{R2 0} d R² d x

р					0	R2
	0		в
			2khx J(τ)
Pкон(τ)=



_J(τ)= ₀ ^{f (  )d}

Следовательно, для расчета давления на контуре P_кон(τ) в период

нарастающего отбора жидкости из месторождения, т.е при 0≤^{t  t*} , необходимо определить интеграл J(τ).

22

Имеем

J( )  ₀^ 0,51 (1 (  )^3,81 1,12log1 (  )d

Обозначим

	d
J = 0	1 (  )3,81	 J =  ln1 (  )d
1		2	0

Вычисляя интегралы, получаем

_J1=0,3561 (1 )^2,81 

_{J2 =} (1 )log(1 ) 

Таким образом, для J (t) имеем выражение _J(τ)=0,5  0,1781 (1 )^2,81  0,4871(1 ) 

За среднее пластовое давление в нефтяной залежи приним ем P=0,9Р_кон Окончательно для расчета изменения среднего пластового давления в

нефтенасыщенной части месторождения получаем формулу

p( )  0,9р  р ( ) ^0,1432в^0 ^R2

_{0 кон} khx

0,5  0,1781 (1 )^2,81  0,487(1 )log(1 )  

хt

Эта формула справедлива только при 0≤^{t  t*} (τ= ^R2 ) Чтобы получить формулу для расчета ^{р( )} для периода постоянной добычи жидкости, т. е. при

• f τ^*, необходимо из данного выражен я вычесть такое же выражение, но зависящее не от τ , а от разности τ-τ^*.

Таким образом, при τf τ ^*

р( ) 	0,1432в0 R2	 [J(τ)- J(τ- *)]
	khx

Рассчитаем изме е ие cреднего пластового давления для некоторых значений време и разработки месторождений.

Определим к эффициент пьезопроводности х. Имеем

	k			0,51012	 1м2 / с
х= в 			103 51010

При t=1 год=0,31536∙10⁸ с получаем следующее значение без-разм рного времени:

хt _ 10,3153610⁸ _{ 7,884}

_τ= R² 410⁶

При этом

_{р } ^0,1432в^0 ^R2 _

khx

10. (7,884)= 0,5∙7,884 —0,178(1 —8,884^-2,81) + 0,487 (8,884 In 8,884 - 7,884)=9,373.

23

Тогда ^{р(7,884) } 0,0768∙9,373 = 0,72 МПа.

Определим изменение среднего пластового давления в нефтяной залежи при τf τ^*. Например, при t = 4 года τ=31,54. Для J (τ) получаем

J (31,54) =0,5∙31,54 – 0,178 + 0,487 (32,54 ln(32,54-31,54))= 55,41; J(τ-τ^*)=J(7,884)=9,373

Тогда

^р(4) = 0,0768∙55,41-0,0768∙9,373 = 3,536 МПа.

В таблице показано изменение среднего пластового давления в нефтяной

залежи ^р в различные моменты времени ее разработки. Из рис. 7 видно, что спустя 15 лет после начала разработки нефтяного месторождения пластовое давление хотя и снизилось примерно на 5 МПа, однако оно еще превышает давление насыщения (р_нас = 9 МПа). Следовательно, разр ботка нефтяной залежи в течение указанного срока происходила при упругом режиме.

Рисунок 7. Графики изменен я параметров в процессе разработки залежи нефти

3. Расчет изменения добычи нефти и воды во времени при заданном отборе жидкости из пл ста.

По условию зад чи задана зависимость текущей обводненности ν продукции, получаемой из залежи, от относительной суммарной добычи нефти

или относительн й выработки извлекаемых запасов нефти ^Qн Если, как указано

• условии задачи, эта зависимость не будет изменяться в процессе разработки нефтяного место ождения, то можно использовать метод расчета показателей разрабо и, аналогичный известному методу — «по характеристикам выт сн ния нефти водой».

Относительная суммарная добыча нефти ^Qн есть частное от деления накопленной к моменту t времени разработки добычи нефти на количество извлекаемых запасов, т. е.

Q_н  ^Qн

N_н

где

Q_н  ₀^t q_н ()d

24

Текущая обводненность продукции скважин определяется следующим соотношением:

	qв		qв
ν=	qв  qн		qж

где ^qв — дебит воды, добываемой одновременно с нефтью из всех скважин; ^qн — дебит нефти.

Понятно, что

qн  qж (1 ) Так как кривая на рис. 15 выражает

зависимость ν= ν(

Qн

) то Q н=

Qн

(ν)

Поскольку

1

0 qж (1 )d

Q

N

н =

н

Получим

dQн



qн (t)



1

qж (t)(1 )

dt

Nн

Nн

Из предыдущего равенства имеем

^dQн ^d  ¹ q (t)(1 )

d dt N_{н ж}

Разделим переменные в предыдущем равенстве:

^Qн^{ ( )} _{d } ¹ _{qж (t)dt}

1 N_н

Интегрируя обе части полученного уравнения в пределах изменения обводненности до заданного значения и соответствующего времени разработки, получим

			(x)		1
		Qн		dx 			qж ()d
0 1 x					N	0

Интеграль е соотношение позволяет получить искомую зависимость обводненности т времени разработки. Это можно сделать путем аппроксимации данных на рис. 15 некоторой функцией.

• ачестве аппроксимирующей функции используем выражение, получ нное на основании квадратичной аппроксимации функции Баклея—

• вер тта:

a



Qн

( ) 

в

a  

н

1

Теория вытеснения нефти водой, развитая Баклеем и Левереттом, изложена, например, в [2].

Перепишем, введя обозначение

25

_{ } ^в ¹

_н a

где а — некоторый постоянный коэффициент, зависящий от свойств коллектора.

^Qн^{ ( ) } _{1 } ¹_1



Коэффициент а определим по известным величинам и ^Qн^ из выражения Выберем три точки с координатами ν-^Qн

1. ν1=0,3

2. ν2=0,5

3. ν3=0,8

4. ^Qн ^{ 0,58}

5. ^Qн2 ^{ 0,68}

6. ^Qн3 ^{ 0,82}

Вычислим коэффициенты:

1 0,3

a 

0,3

 1,0547

1

1)

2(

0,58н

1 0,5

a 

0,5

 1,0625

1

2(

1)

0,68н

1 0,8

a 

0,8

 1,1389

1

1)

2(

0,82н

Определим среднее значение:

Тогда

1



 0,46

2 1,0854

Формула зависимости суммарной относительной добычи нефти от текущей обводненности для заданных условий имеет вид

Qн ( ) 	1
	1 0,46		1
			

Произведем вычисления по полученной зависимости, результаты которых сведем в таблице. По результатам построена кривая. Видно, что расчетная зависимость хорошо описывает исходные данные.

26

Рассмотрим интеграл в левой части данного соотношения. Представим его как

0			(х)dx
		Qн 		0	f (x)(x)dx
		1  x

где

6. (x)  Q_н^(x); ^{(x) } _1¹ _x

Таблица Расчётные данные

ν				u*										v**	J(ν)	J(t)	t, год
										Qн
0,01				99			0,179							0,574	0,18		1,6
0,05				19			0,333							2,005	0,237	0,237	3,8
0,1				9			0,42							1,38	0,412	0,412	5,6
0,2				1			0,521							0,92	0,55	0,55	6,9
0,3				2,33			0,587							0,702	0,639	0,64	7,8
0,4				1,5			0,61							0,563	0,719	0,72	8,6
0,5				1,0			0,685							0,46	0,801	0,8	9,5
0,6				0,667			0,727							0,376	0,89	0,9	10,4
0,7				0,429			0,769							0,301	1,016	1,02	11,6
0,8				0,25			0,813							0,23	1,196	1,2	13,5
0,9				0,111			0,867							0,153	1,581	1,6	17,4
0,96				0,053			0,904							0,106	2,101	2,1	22,6
0,98				0,02			0,938							0,065	3,214	3,214	33,9
0,99				0,01			0,956							—	—	—	—
*u 	1			** 				1
					
									

Используем правило интегрирования но частям. Выполним необходимые вычисления:

d(x)  ^dx

(1 x)²

6. (x)  Q_н^( );

Так как

₀^ f (x)(x)dx  f (x)(x)₀^  ₀^ f (x)(x)dx;

получим

27

 Q



(х)

dx



dx

0

н

dx 

0

1 x

1

1 x

)(1 x2 )

(1



)(1 )

(1







x

Интеграл в правой части равенства легко приводится к табличному вид у с помощью подстановок:

u 

1



;  

u



dx



d

0

20

3

(1



1 x

)(1 x2 )

(1 )

x

Табличный интеграл имеет вид

dx

1

b

2

a  bx

0







b

ln

(a  bx)x

3

2x2a

2

x

3

a

a

x

Если а=1 , b=



то



dx



1



2

1





20

 2





ln



2

2



1



1 x

(1 

)(1

 x

2

)



0

x

С учетом пределов интегрирования по уч м

dx

1

2

1







2

0





 2

ln

1

1 x





(1



)(1 x2 )

1

1







x

После необходимых прео разований получим решение

1

1 

 Qн(х)

1



2

0

dx 

 2

ln

1 x

1

1

(1 

)(1

 )









1



Введем

б значение



Тогда решение запишем в следующем виде:

(х)dx

Qн

1 2

2

2

1

J ()  0









 2

2 ln



1 x

1

(1)



Интеграл в правой части уравнения вычисляют отдельно для двух стадий. На первой стадии в период возрастания добычи жидкости в процессе бурения скважин получим

	1	t			0
J1(t ) 		0	0 d 				t 2
	Nн			2N
						н0≤t  t* (2.17)

28

На второй стадии в период постоянной добычи жидкости имеем

	1	t		qmax ж		*
J2(t ) 		t*	qmax ж dt 		(t  t		)
	2Nн			Nн				t f t*

Произведем вычисления по формуле (2.16). для чего зададимся различными значениями текущей обводненности (см. табл. 8). Например:

1 0,424

J(0,01)= ^{1 4,577}

J(0,05)=

Результаты вычислений представлены в табл. 8.

Подсчитаем величины:

1	
2Nн	0		3 3	2	)
qmax ж			=0,0168 (м / м ∙год
Nн			=0,1 (м3/ м3 ∙год)

Необходимо учесть, что при переходе с перв й стадии на вторую в период постоянной добычи не должна нарушаться непрерывность в расчетах. А именно, для второй стадии при

^qж ^{ q}max ж _=const

расчетная формула следующая:

J(t)  J1(t* )		qmax ж	(t  t* )
				t f t *
		Nн

Например, при t = t^*= 3 годам

J₁ (3) = 0,0168∙3²=0,151.

При t =15 годам

J' (15) = 0,151+ 0,1∙12=1,351.

Результаты расчетов приведены в таблице на основании которой построены кривые зависимости обводненности продукции скважин от времени разработки.

• помощью кривой изменения текущей обводненности от времени разрабо и определим дебиты нефти для различных моментов времени по формуле

q^* (t)  q (t)(1 ) ^н

^{н ж} b_н

29