Правило 72-х.

Иногда при расчетах приходится сталкиваться с задачей определения количества периодов начисления, по истечении которых первоначально депонированная сумма увеличивается вдвое. Очень просто решить эту задачу позволяет известное выражение:

"Правило 72-х", в основу которого положены логарифмы. Количество периодов, необходимое для удвоения первоначальной суммы вычисляется так:

n = 72 / i

или удвоение вложенной суммы происходит через число лет, определяемое как частное от деления числа 72 на номинальную ставку процента.

Данное правило показывает точные результаты при значениях i: 3%<i<18%.

Срабатывает правило и в обратном порядке для определения ставки дохода, при которой депонированная сумма удвоится.

Пример2. За сколько лет произойдет удвоение Вашего капитала, если банк дает 15% ……4,8 г

Более частое, чем один раз в год, начисление процентов.

Приведенные выше расчеты основывались на том предположении, что начисление процентов происходит один раз в год. Однако аккумулирование может происходить не только раз в год, но и чаще, например раз в квартал, раз в месяц и т. д. В этом случае формула будет выглядеть следующим образом:

где m — частота начисления процентов в год;

п — число лет, в течение которых происходит накопление.

Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.

Пример 3. 100 долл. Вы положили в банк под 12% с начисление процентов 2 раза в год. Найти фактическую ставку (Iф), размер вклада на счете в конце года (FV), доход на ваш капитал (dK) и периодическую ставку (Ip) Ip = Iy / 2 = 6% FV= PV (1+Ip)² = 100 (1+0.06) ² =100 ( 1+0.12+0.0036)=112.36 Доход на капитал dK = 112,36 - 100 = 12,36 Iф= 12,36/100 = 0,1236 (12,36% -эффективная фактическая ставка)

Периодическая ставка (Ip) – ставка для начисления % на протяжении каждого отдельного периода (день, нед, мес, кв, год)

Годовая номинальная ставка (Iy= Ip * Py) равная произведению периодической ставки на количество периодов (Py_ в году в %%

Годовая фактическая (эффективная ставка) = годовая ставка включающая начисление сложных процентов. Эта ставка определяется как процентное соотношение дохода на капитал в конце года к величине вложенного капитала.

Вывод: Чем больше количество начислений в году, тем больше разница между фактической и годовой (номинальной) ставками

Iф > Iy

2-ая функция сложного процента - Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)

Часто бывает, что мы имеем дело не с единичным платежом, произведенным в определенный момент времени, а с серией платежей, происходящих в различные моменты времени. Если эти платежи происходят через строго определенные промежутки времени, то такая серия называется аннуитетом. Платежом k-го периода называется единовременный денежный вклад в этом периоде. Он обозначается через РМТ (payment).

Аннуитет – это серия равномерных равновеликих платежей

Аннуитеты разделяются на следующие категории:

• Равномерные

• неравномерные,

• обычные

• авансовые.

Равномерным аннуитетом называется аннуитет, состоящий из серии равновеликих платежей. Противоположностью ему является неравномерный аннуитет, при котором величина платежей может быть разной в различных платежных периодах. Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого платежного периода, и авансовым, если платежи осуществляются в начале платежного периода.

Вторая функция сложного процента показывает, какой будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого из периодических интервалов, по истечении установленного срока.

Пример 4. Чтобы заработать себе на пенсию, вы решили откладывать в банк в конце каждого года по 100 денежных единиц. Сколько денег Вы снимите со счета через 5 лет, если банк начисляет 10% ежегодно?

Год	Сумма вклада на начало года	Сумма дохода вклада	Взнос в конце года	Сумма вклада на начало года
1	0,00	0,00	100,00	100,00
2	100,00	10,00	100,00	210,00
3	210,00	21,00	100,00	331,00
4	331,00	33,10	100,00	464,10
5	464,10	46,41	100,00	610,51

Пример 5. Если вкладывать ежегодно $900 на счет в банке под 10 % годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?