1.2. Скалярное произведение векторов
Скалярным
произведением
векторов
и
(обозначение:
)
называется число, определяемое формулой
,
где
– угол между векторами
и
Таким образом,
.
(14)
С учетом формулы (3) получаем
,
.
(15)
Свойства скалярного произведения:
1)
,
то есть
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Если векторы
и
разложены по координатам,
,
,
то их скалярное произведение вычисляется
по формуле
.
(16)
Используя (14),(15),(16) и (6), запишем формулы для расчета угла между векторами, проекции вектора на вектор и условие перпендикулярности двух векторов.
Косинус угла
между векторами
и
вычисляется по формуле
.
(17)
Проекция вектора на вектор :
(18)
Условие перпендикулярности для ненулевых векторов:
(19)
Пример 4. Даны
два вектора:
.
Найти значение параметра
,
при котором эти векторы перпендикулярны.
Решение. По формуле (19) получаем
;
;
.
◄
Пример 5. Вершины
треугольника расположены в точках
.
Найти все углы и длины сторон треугольника.
Решение. Найдем
длины сторон
и
и угол
.
Для этого запишем векторы
и
:
,
.
Длины сторон и определим по формуле (6):
,
.
Для определения угла используем формулу (17):
По значению косинуса определяем
угол
радиан
или
градусов.
Аналогично вычисляют другие стороны и углы. Все вычисления проведем в программе EXCEL [4 ]. Листинг вычислений:
Рис. 6
В ячейках:
A2:A4, B2:B4, C2:C4 – координаты вершин треугольника;
D2:D4, E2:E4, F2:F4 – координаты соответствующих векторов;
G2:G4, H2:H4,
I2:I4 –
произведения соответствующих координат,
причем для определения угла
необходимо взять
,
так как векторы должны иметь начало в
одной точке;
G6: I6– скалярные произведения;
D9:F9 – длины векторов;
D12:F12– углы в радианах;
G12 – сумма всех найденных углов в радианах;
D14:F14– углы в градусах;
G14 – сумма всех найденных углов в градусах.
Результат найденного угла
подтверждает результат, найденный
вручную. А значение в ячейке G14
является проверкой суммы углов
треугольника.
◄
1.3. Векторное произведение векторов
Три вектора
образуют упорядоченную
тройку (или просто тройку)векторов,
если указано, какой из этих векторов
является первым, какой – вторым и какой
– третьим. При записи тройки векторов
их располагают в порядке следования.
Тройка некомпланарных векторов
называется правой(левой
) тройкой, если после
приведения их к общему началу вектор
располагается по ту сторону от плоскости,
определяемой векторами
и
,
откуда поворот от
к
на меньший угол кажется
(рис.7а) совершающимся против
часовой стрелки (по часовой стрелке).
Орты
декартовой системы координат образуют
правую тройку векторов (рис.7б).
|
|
а) |
б) |
Рис. 7
Векторным
произведением
векторов
и
называется вектор
(обозначение:
)2,
длина которого равна
,
где
– угол между векторами
и
, а направление
перпендикулярно векторам
и
,
при этом векторы
образуют правую тройку.
Свойства векторного произведения:
1)
;
2)
;
3)
;
4) если
,
то
,
т.е. векторы
и
коллинеарны;
5) площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
, как известно, равна
,
т.е. модулю векторного произведения:
.
(20)
Если векторы и заданы своими координатами
, ,
то векторное произведение вычисляется по формуле
(21)
Используя теорему разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки [4] , формулу (21) можно записать в виде символического определителя, удобного для запоминания,
(22)
Пример 6.
Найти векторное
произведение векторов
и
.
Решение. Используя определитель (22), получаем
◄
Пример 7. Найти
площадь треугольника
,
если
,
,
.
Решение. Найдем координаты векторов и :
.
Вычислим векторное произведение
:
Площадь треугольника
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
. Тогда по свойству 5) и формуле (20)
получаем
◄
.