1.3.1. Постоянная рента постнумерандо

Пусть в течение - лет на депозитный счет в банк в конце каждого года вносится сумма - рублей. На взносы также в конце года начисляются сложные проценты по ставке -% годовых. Наращенная сумма рентных платежей (рента постнумерандо) определится по формуле:

(1.44.)

(1.45.)

(1.46.)

где - коэффициент наращения постоянной ренты постнумерандо.

Если взносы в размере будут вноситься - раз в году в конце расчётных периодов и на суммы на счёте - раз в году будут начисляться сложные проценты по годовой ставке , то наращенная сумма взносов за - лет определится по формуле:

(1.47.)

Из формул для определения наращенной суммы последовательных взносов можно вывести формулу для определения размера взносов, обеспечивающих накопление заданной суммы:

(1.48.)

(1.49.)

1.3.2. Постоянная рента пренумерандо

Если одинаковые суммы будут поступать на депозитный счёт в начале каждого года, то сумма всех поступлений с начисленными процентами через - лет (рента пренумерандо) определится по формуле:

(1.50.)

Если взносы в размере будут вноситься на депозитный счёт - раз в году, в начале периода и на них - раз в году будут начисляться сложные проценты по годовой ставке , то формула для определения наращенной суммы взносов примет вид:

(1.51.)

Из приведённых формул можно вывести формулы для определения размера взносов, обеспечивающих накопление заданной суммы при прочих заданных условиях:

(1.52.)

(1.53.)

1.4. Оценка эффективности финансовых операций

Показателем, выступающем в качестве меры эффективности вложений средств при различных условиях, является эквивалентная (эффективная) годовая ставка простых или сложных процентов ( ).

Общий принцип определения эффективности (рентабельности):

(1.54.)

где n – срок, в течение которого эта прибыль получена. Применительно к депозитам и депозитным операциям прибылью будет сумма начисленных процентов ( ), вложенным капиталом – первоначальная сумма вклада ( ), а сроком, в течение которого эта прибыль получена – период наращения ( ).

Нетрудно доказать, что эффективная ставка простых процентов будет равна ставке простых процентов

(1.55.)

При определении доходности краткосрочных (до года) вкладов эффективная ставка простых процентов может быть определена также по формуле:

(1.56.)

(1.57.)

Если известна ставка простых процентов на периоде начисления - , то эффективная годовая ставка простых процентов определяется по формуле:

(1.58.)

При начислении процентов один раз в конце года эффективная ставка сложных процентов определяется по формуле:

(1.59.)

При начислении процентов р - раз в году формула может иметь следующий вид:

(1.60.)

(1.61.)

При этом, если = 1, то формула принимает вид:

(1.62.)

При определении реальной доходности вкладных операций следует учитывать налогообложение. С учётом налога доход вкладчика (сумма процентов) составит:

(1.63.)

где - ставка налога на доход в долях единицы.

Реальная доходность в виде эффективной годовой ставки процентов при этом будет равна:

(1.64.)