2. Множества. Подмножества.

В математике понятие множества является одним из основных. Для него имеется много общеизвестных синонимов (класс, совокупность, группа, семейство и т.п.). Создатель теории множеств немецкий математик Г. Кантор (1845-1918) говорил, что множество  есть совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит данное множество, называются элементами.

Условимся обозначать множества прописными латинским буквами А, В, …, а их элементы  строчными буквами а, в, … Символы а А и аА обозначают соответственно, что "элемент а принадлежит множеству А", "элемент а не принадлежит множеству А". N, Z, Q и R соответственно обозначают множества всех натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.

Если множество конечное, то его можно записать с помощью перечисления всех его элементов в списке, который заключается в фигурные скобки. Число элементов в конечном множестве A обозначается символом  A.

Если множество содержит элементы и не является конечным, то оно называется бесконечным. Такие множества обычно задаются указанием характеристического свойства, которым обладают его элементы: A = {xP(x)}, P(x) – свойство, которым обладают элементы множества. Например, множество четных чисел можно записать в виде {x  x  целое число и x делится на 2} или {x xZ и x2}, или {xZ x2}. Некоторые бесконечные множества можно записать в виде бесконечной последовательности. Например, множества N всех натуральных чисел и множество Z всех целых чисел:

N = {1, 2, 3, …}, Z = {…, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, … }.

Множество Q всех рациональных чисел можно задать так:

Q = {x x = m/n, mZ, nZ, n  0}.

Определение 2.1. Говорят, что множество А включено во множество В и пишут А  В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

Если А  В, то так же говорят: А содержится в B, В содержит А, А есть часть В, А есть подмножество В, В есть надмножество А.

Множество называется пустым и обозначается символом , если оно не содержит ни одного элемента.

Теорема 2.1. Для любых множеств А, В, С справедливы свойства:

1.   В, 2. А  А (рефлексивность), 3. если А  В и В  С, то А  С (транзитивность).

Доказательство. ТУ 2.1.

Замечание. Теоретические упражнения должны быть проработаны студентами самостоятельно или на практических занятиях.

В приложениях теории множеств обычно рассматриваются только такие множества, которые содержаться в некотором фиксированном множестве U, называемом универсальным множеством. Понятие универсального множества  понятие относительное. Например, универсальное множество в планиметрии  множество всех точек плоскости, а в стереометрии  множество всех точек пространства.

Диаграммами Эйлера-Венна называются плоские фигуры (например, круги), с помощью которых наглядно изображаются множества, графически иллюстрирующие отношения между множествами и свойства булевых операций. Л. Эйлер - швейцарский математик, жил в России (17071783); Дж. Венн  английский логик и математик (18341923).

О пределение 2.2. Говорят, что множество A равно множеству B и пишут A= B, если выполняются два условия:

1. каждый элемент множества A принадлежит множеству B

2. каждый элемент множества B принадлежит множеству А.

Символ A  B обозначает, что множество A не равно множеству B.

Теорема 2.2. Для любых множеств A, В, C справедливы свойства:

1. А = A (рефлексивность), 2. если A = B, то B = A (симметричность), 3. если A = B и B = C, то A = C (транзитивность).

Доказательство. ТУ 2.2.

Теорема 2.3. Множества A и B равны тогда и только тогда, когда A  B и B  С.

Доказательство. ТУ 2.3.

Определение 2.3. Говорят, что множество A строго включено во множество B и пишут A  B, если A  B и A  В.

Если A  B, то говоря, что A - собственное подмножество множества B. Например, {4, 5}  {3, 4, 5}  N  Z  Q  R. Если A не является строго включенным в B, то пишут A  B. Например, {1, 4, 5}  {3, 4, 5}.

Теорема 2.4. Для любых множеств A, В, C справедливы свойства:

1. А  А (антирефлексивность), 2. если А  В, то B  A (ассимметричность), 3. если А  В и В  С, то А  С (транзитивность).

Доказательство. ТУ 2.4.

Определение 2.4. Множество всех подмножеств множества А называется булеаном множества А и обозначается символом P(А) или 2^А

Пример. Булеан множества A = {1, 2}, P(А) = {, {2}, {1}, {1, 2}.

Теорема 2.5. Булеан конечного множества содержит 2^A различных подмножеств.

Доказательство. Пусть A = n. Доказываем индукцией по n. Пусть n=0. Тогда А = , P(А) = {} и P(А) = 1. Предположим , что утверждение верно для любого множества В, содержащего n-1 элементов и докажем его для n –элементного множества А= {a₁, a₂,…, a_n} . Тогда любое подмножество либо не содержит элемент a_n либо содержит a_n. Если оно не содержит элемент a_n, то оно является подмножеством В множества {a₁, a₂,…, a_n-1}. Таких подмножеств 2^n-1. Если оно содержит элемент a_n, то оно имеет вид Вa_n, где В подмножества {a₁, a₂,…, a_n-1}. Таких подмножеств 2^n-1. Тогда всего подмножеств в множестве 2^n-1 +2^n-1=2ⁿ.

Упражнения: 2.1. Доказать свойства теоремы 2.1.

2. Доказать свойства теоремы 2.2.

3. Доказать свойства теоремы 2.3.

4. Доказать свойства теоремы 2.4.

5. Установить, что множества A = {xR x²2x+2<0} и B = ={xR log_x-1 (1x)>0} - пустые.