Введение
В школьном курсе математики рассматриваются кривые – Эллипс, Кардиоида и Улитка Паскаля, Циклоида, Спираль Архимеда, Парабола.
Но нигде не говорится о замечательных свойствах данных кривых, а тем более об их практическом применении. Считается, что очень важно учащимся знать замечательные свойства данных кривых, которые широко применяются в жизни. Исследуя и даже просто знакомясь с этими свойствами, учащиеся видят действительно практическое применение математики.
Актуальность: Эту тему мы выбрали потому, что хотела поближе познакомиться с замечательными кривыми. Узнать, используются ли в архитектуре нашего города, т.е. города Вологды эти элементы математики.
Гипотеза: Замечательные кривые существуют в жизни человека.
Объект: Замечательные кривые.
Предмет исследования: Математика.
Цель проекта: Познакомиться с некоторыми замечательными кривыми, которые встречаются и имеют практическое применение в нашей жизни.
Задачи работы:
1 Изучить источники на бумажных носителях и в Интернете.
2 Провести анализ найденных материалов.
3. Ознакомление с практическим применением кривых в жизни человека.
4 Написание проекта .
5.Презентация проекта .
Спирали и розы
Открытие спирали
Архимедова спираль была открыта Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.
Рис. 1 Архимед
Согласно Математической Энциклопедии, спиралями называются плоские кривые, которые "обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от нее”. Это толкование термина не является строго формализуемым определением. Если какая-то известная кривая содержит в названии эпитет "спираль", то к этому следует относиться как к исторически сложившемуся названию.
Виды спиралей
Спираль Архимеда.
Безобидная воронка, образованной вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик – все они имеют форму спиралей. Одну из первых спиралей, описанную Архимедом, нам продемонстрирует светлячок. Отправим его в путешествие вдоль секундной стрелки часов, полагая, что он будет перемещаться с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Если вообразить бесконечно, длинную стрелку, то жучок высветит нам «спираль Архимеда» (в переводе с латыни спираль означает «изгиб», «извив»). Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками
Рис. 2 Архимедова спираль
Архимедова спираль – плоская кривая, описываемая точкой M, равномерно движущейся по прямой OA, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек O. Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. На рисунке изображены первый виток и часть второго
Рис 3. Построение Архимедовой спирали.
Спираль Ферма
Параболическая
спираль
— спираль,
задаваемая на плоскости в полярных
координатах уравнением
φ{\displaystyle
r^{2}=a^{2}\varphi }.
Является видом Архимедовой
спирали.
Рис. 4 Спираль Ферма
Гиперболическая спираль.
Гиперболическая спираль - плоская трансцендентная кривая. Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так:
ρφ=α
Рис. 5 Гиперболическая спираль.
Логарифмическая спираль.
Слово логарифм происходит от греческого (число, отношение), и переводится как отношение чисел. Джон Непер (1550-1617гг.) шотландский математик, изобретатель логарифмов объяснял, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое геометрической. Логарифмы с основанием ввѐл Спейдел. Логарифмы необычайно быстро вошли в практику.
Рис. 6 Логарифмическая спираль.
Логарифмическая спираль – это линии в геометрии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе. Логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус – вектором сохраняет постоянное значение.
Клотоида или Спираль Корню.
(в западной литературе известна так же как спираль Эйлера) — кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги.
1/R~L↔R*L=const
Рис. 7 Клотоида или Спираль Корню.
Сферическая спираль.
Сферическая спираль (локсодрома) — это кривая на сфере, пересекающая все меридианы под одним углом (не прямым). Эта кривая имеет бесконечное число витков. Расстояние между ними убывает по мере приближения к полюсам.
Рис. 8 Сферическая спираль.
Роза
Роза— плоская кривая, напоминающее символическое изображение цветка.