9.2 Разложение в ряды Фурье функций с периодом

Пусть периодическая функция с периодом , то есть . Делая замену переменной

, (31)

введем функцию переменной положив:

. (32)

Покажем, что функция периодическая с периодом . Действительно,

. (33)

Предполагая, что функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, запишем для нее ряд Фурье

, (34)

где, в соответствии с формулами. (14), (16) и (17)

, (35)

, (36)

. (37)

Возвращаясь к переменной , полагая , и производя замену переменной в интегралах в формулах (35) – (37):

, (38)

получим искомый ряд Фурье

(39)

для периодической с периодом функции, , с коэффициентами, определяемыми формулами:

, (40)

, (41)

. (42)

Пример 3. Функцию , разложить в ряд Фурье.

Решение. Данная функция нечетная и разлагается в ряд Фурье по синусам. Поэтому достаточно вычислить коэффициенты по формуле

(42), которая может быть (вследствие нечетности функции) переписана в виде

. (43)

Находим (учитывая, что ):

.

При выводе были использованы формулы:

,

,

.

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (39) (при и всех равных нулю), получаем искомый ряд:

.▲

9.3 Разложение в ряды Фурье непериодических функций

Пусть функция определена на интервале , кусочно-монотонна и ограничена на нем. Покажем, что эту функцию в точках ее непрерывности можно представить как сумму некоторого ряда Фурье. С этой целью рассмотрим периодическую с периодом функцию , совпадающую с функцией во всех точках интервала . Функция , очевидно, удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье. В соответствии с теоремой, сумма ряда будет совпадать со значениями функции в точках ее непрерывности. Так как в интервале функция совпадает с функцией , то в этом интервале ряд Фурье будет представлять и функцию в точках ее непрерывности.

Рассмотрим важный частный случай, когда функция определена на интервале . Продолжив ее некоторым образом в интервал , но так, чтобы на интервале она удовлетворяла условиям теоремы Дирихле, ее можно будет разложить в ряд Фурье. Поскольку продолжение в интервал может быть выполнено

различными способами, то и получаемые ряды будут различны, но, что существенно, сумма каждого ряда будет представлять функцию в точках ее непрерывности. В частности, функцию можно продолжить в интервал так, чтобы на интервале она была четной или нечетной. В первом случае ряд Фурье будет содержать только косинусы, а во втором только синусы.

Пример 4. Функцию , , разложить в ряд Фурье по синусам.

Решение. Чтобы получить ряд Фурье по синусам, функцию следует продолжить в интервал нечетным образом и распространить на всю числовую ось как периодическую с периодом . График такой функции показан на Рис. 4.

В ычисляя коэффициенты по формуле (29), получаем:

Ряд Фурье, таким образом, принимает вид:

. ▲

9.4 Некоторые приложения рядов Фурье

Смысл представления функций рядами Фурье, Тейлора и т.д., с точки зрения практических приложений состоит в том, что после обрывания ряда получающаяся конечная сумма дает приближенное выражение разлагаемой функции, причем степень приближения можно неограниченно улучшать, оставляя все большее число членов. В частности, если некоторую функцию представить тригонометрическим многочленом порядка , то, есть в виде

, (44)

то существует теорема, согласно которой среди всех тригонометрических многочленов порядка , наименьшее среднеквадратическое уклонение от функции имеет многочлен, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье функции . Этот факт позволяет эффективно использовать тригонометрические многочлены, получающиеся после обрывания рядов Фурье, для приближенного представления функций. В качестве примера, на Рис. 5 показаны аппроксимирующие кривые, рассчитанные по формуле

, (45)

п олученной после обрывания ряда Фурье функции (см. Пример 3.) при сохранении в выражении в скобках одного (кривая 1), двух (кривая 2) и трех (кривая 3) слагаемых. Другой пример аппроксимации тригонометрическим многочленом более сложной функции

(см Пример 4 ) показан на Рис. 6. Расчеты проводились по формуле

, (46)

при сохранении в сумме одного (кривая 1), трех (кривая 2) и двадцати (кривая 3) слагаемых.

З десь, как видно, даже сохранение двадцати слагаемых не обеспечивает удовлетворительного воспроизведения кривой. Тем не менее, степень приближения неуклонно возрастает, так что учет большего числа слагаемых позволит достичь, в принципе, любой желаемой точности.

Важным фактором, стимулирующим изучение рядов Фурье, служит также наличие методов и приборов, позволяющих строить тригонометрические многочлены на основе числовой или графической информации, получаемой при проведении экспериментальных исследований. В связи с этим, они находят широкое применение в электротехнике и радиотехнике, при изучении колебательных и различных шумовых вибрационных процессов в узлах машин и механизмов и т.д..

Представляет также большой интерес использование рядов Фурье для нахождения сумм числовых рядов. Рассмотрим примеры.

Пример 5. Функцию разложить в ряд Фурье на отрезке и используя полученное разложение найти суммы рядов и .

Решение. Функция четная и разлагается в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты и , соответственно равны:]

,

Искомый ряд Фурье, таким образом, равен

(47)

Полагая здесь , находим:

. (48)

Аналогично, полагая , получаем

. (49)

Лекция 10.