Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.Если существует риск (вероятность реализации плана п1 — b%, п2— с%, п3 — d%),то какую стратегию фирме следует считать оптимальной?

Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называютантагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков.

Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока.

Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеетполную информацию о результате выбора противника.

Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.

1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	2	3	3	2
A2	4	2	1	1
A3	3	2	4	2
b = max(Bi)	4	3	4

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₁. Верхняя цена игры b = min(b_j) = 3.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 2 ≤ y ≤ 3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.

Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.

Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если a_ij ≥ a_kj для всех j Э N и хотя бы для одного j a_ij > a_kj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая. Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если

для всех j Э M a_ij ≤ a_il и хотя бы для одного i a_ij < a_il. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю– доминируемой.

• платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.

• платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Запишем систему уравнений. Для игрока I

2p₁+4p₂+3p₃ = y

3p₁+2p₂+2p₃ = y

3p₁+p₂+4p₃ = y p₁+p₂+p₃ = 1

Для игрока II

2q₁+3q₂+3q₃ = y

4q₁+2q₂+q₃ = y

3q₁+2q₂+4q₃ = y

q₁+q₂+q₃ = 1

Решая эти системы методом Гаусса (решение см. ниже), находим: y = 2⁵/₈

p₁ = ⁵/₈ (вероятность применения 1-ой стратегии). p₂ = ¹/₄ (вероятность применения 2-ой стратегии). p₃ = ¹/₈ (вероятность применения 3-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (⁵/₈; ¹/₄; ¹/₈) q₁ = ³/₈ (вероятность применения 1-ой стратегии).

q₂ = ¹/₂ (вероятность применения 2-ой стратегии). q₃ = ¹/₈ (вероятность применения 3-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (³/₈; ¹/₂; ¹/₈)

Цена игры: y = 2⁵/₈

Исходные данные:

2	3	3
4	2	1
3	2	4

Поскольку необходимо минимизировать затраты, то модифицируем матрицу умножением всех элементов на (-1) и затем сложением их с максимальным элементом матрицы (4) так, чтобы матрица не содержала бы отрицательных элементов. Тем самым сводим решение к поиску минимальной функции.

2	1	1
0	2	3
1	2	0

Критерий Байеса.

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A_i, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.

Считаем значения ∑(a_ijp_j)

∑(a_1,jp_j) = 2•35 + 1•35 + 1•35 = 140 ∑(a_2,jp_j) = 0•35 + 2•35 + 3•35 = 175 ∑(a_3,jp_j) = 1•35 + 2•35 + 0•35 = 105

Ai	П1	П2	П3	∑(aijpj)
A1	70	35	35	140
A2	0	70	105	175
A3	35	70	0	105
pj	35	35	35

Выбираем из (140; 175; 105) максимальный элемент max=175 Вывод: выбираем стратегию N=2.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₂.

3. Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу продукции составят: платья — А ден. ед., костюмы — В ден. ед. Цена реализации составит С ден. ед. и D ден. ед. соответственно.

По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды Е шт. платьев и К шт. костюмов, при прохладной погоде — М шт. платьев и N шт. костюмов.

В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход.

Задачу решить графическим методом и с использованием критериев игр с природой, приняв степень оптимизма α, указанную в таблице.

Решение:

Фирма располагает двумя стратегиями: А₁ – в этом году будет теплая погода, А₂ – в этом году будет прохладная погода.

Если фирма примет стратегию А₁ и в действительности будет теплая погода (стратегия природы В₁), то выпущенная продукция (1370 платьев и 530 костюмов) будет реализована и доход составит:

1390 (20 - 11) + 580 (85- 38) = 39770

Если же погода будет прохладной (стратегия природы В₁), то костюмы будут проданы полностью, а платья только в количестве 450 шт. и часть платьев останется нереализованной. Доход составит:

465 (20- 11) + 580 (85 - 38) – 11 (1390 - 465) = 21270

Если фирма примет стратегию А₂ и погода будет холодной, то доход составит:

465 (20 –11) + 960 (85 - 38) = 49305

При теплой погоде составит:

465 (20- 11) + 580 (85 - 38) – 38 (580 - 465) = 27075

Поскольку необходимо минимизировать затраты, то модифицируем матрицу умножением всех элементов на (-1) и затем сложением их с максимальным элементом матрицы (49305) так, чтобы матрица не содержала бы отрицательных элементов. Тем самым сводим решение к поиску минимальной функции.

9535	28035
0	22230

Критерий Вальда.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

a = max(min a_ij)

Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Ai	П1	П2	min(aij)
A1	9535	28035	9535
A2	0	22230	0

Выбираем из (9535; 0) максимальный элемент max=9535 Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Севиджа.

Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:

a = min(max r_ij)

Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Находим матрицу рисков.

Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.

1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.

r₁₁ = 9535 - 9535 = 0; r₂₁ = 9535 - 0 = 9535;

2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.

r₁₂ = 28035 - 28035 = 0; r₂₂ = 28035 - 22230 = 5805;

Ai	П1		П2
A1	0		0
A2	9535		5805

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Ai	П1	П2	max(aij)
A1	0	0	0
A2	9535	5805	9535

Выбираем из (0; 9535) минимальный элемент min=0 Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:

max(s_i)

где s_i = y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)

При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).

Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.

Рассчитываем s_i.

s₁ = 0.3•9535+(1-0.3)•28035 = 22485 s₂ = 0.3•0+(1-0.3)•22230 = 15561

Ai	П1	П2	min(aij)	max(aij)	y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1	9535	28035	9535	28035	22485
A2	0	22230	0	22230	15561

Выбираем из (22485; 15561) максимальный элемент max=22485 Вывод: выбираем стратегию N=1.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₁.