2.2 Понятие пространства состояний

СУ принято описывать с помощью переменных состояния, которые полностью определяют состояние системы в каждый момент времени. Переменные состояния можно рассматривать как координаты, отложенные на соответствующие оси. Тогда каждому состоянию системы будет соответствовать вполне определенная точка в пространстве состояний.

Размерность пространства состояний равна порядку системы дифференциальных уравнений, описывающих её поведение. Координатами пространства состояний являются переменные x_i системы уравнений, записанные в нормальной форме Коши.

Рассмотрим линейную, детерминированную, стационарную модель, которая описывается уравнениями:

В терминах пространства состояния здесь:

x – это вектор столбец координат состояния размерностью nх1,

U – вектор столбец управляющего воздействия размерностью mх1,

y – вектор столбец измерения размерностью rх1,

A – матрица коэффициентов координат состояния размерностью nхn,

B – матрица коэффициентов управляющего воздействия размерностью nхm,

C - матрица коэффициентов измеряемых переменных размерностью rхn.

Рассмотрим нелинейную, детерминированную, нестационарную модель:

где F, G – нелинейные векторы функций, компонентами которых являются правые части исходной системы дифференциальных уравнений.

Модель в пространстве состояний связана с записью дифференциальных уравнений в стандартной форме Коши (в виде системы уравнений первого порядка):

Здесь ­– вектор переменных состояния размера , – вектор входных сигналов (вектор управления) размера и – вектор выходных сигналов размера . Кроме того, и – постоянные матрицы. Согласно правилам матричных вычислений, матрица должна быть квадратной размера , матрица имеет размер , матрица – и матрица – . Для систем с одним входом и одним выходом¹ матрица – скалярная величина.

Это означает, что матрицы модели имеют вид

, , , .

Модель в пространстве состояний можно построить не для всех передаточных функций, а только для правильных, у которых степень числителя не выше, чем степень знаменателя. Например, передаточная функция

– неправильная, она не может быть преобразована в модель в пространстве состояний.

Используют также понятие строго правильной функции, у которой степень числителя меньше, чем степень знаменателя. Если построить модель в пространстве состояний для такой функции, матрица будет равна нулю, то есть, прямая передача с входа на выход отсутствует (при скачкообразном изменении входа сигнал на выходе будет непрерывным).

3. Возмущённые и невозмущенные движения (процесс изменения).

Невозмущенным движением называется заданное (желаемое) изменение состояния x(t), наблюдаемой переменной y(t) реализованной при управлении U(t), при отсутствии воздействия, не учтенного математической моделью.

Заданная траектория движения удовлетворяет системе уравнений:

На практике из-за наличия возмущающего воздействия движение всегда откланяется от заданного и поэтому называется возмущающим. Понятно, что необходимо учесть все, но всегда остаются мелкие непредвиденные ранее воздействия.

Если предположить, что функции F, G допускают линеаризацию, то уравнения возмущенного движения будут иметь вид:

В общем случае матрицы A, B и C изменяются во времени, т.е. уравнение возмущенного движения нестационарно. В координатах возмущенного движения невозмущенное движение соответствует положению равновесия x=y=0.