8.3. Дополнительные задания по теме

1.Через точку М(4;-3) прямоугольной системы координат, проведена прямая так, что площадь треугольника, образуемого ею и осями координат,

равна трем квадратным единицам. Найдите уравнение этой прямой.

2. Записать уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противолежащим сторонам, если треугольник образован пересечением прямых: , , .

3. Найти площадь квадрата, если одна из его вершин – точка А(2; -5), а одна из сторон принадлежит прямой .

4. Диагональ квадрата расположена на прямой . Одна из его вершин находится в точке А(4, -3). Составьте уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

5. Найдите неравенства, задающие внутреннюю область треугольника АВС, если координаты точек: А(-1; 4), В(5; 2), С(1; 3).

6. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями , , .

7. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в вершинах эллипса , а вершины – в фокусах данного эллипса.

8. Какое множество точек на плоскости определяет уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ; 5) ?

9. Уравнение плоскости и прямой в пространстве Поверхности второго порядка

9.1.Основные термины, формулы, положения

Различные уравнения плоскости: уравнение плоскости, заданной тремя точками; уравнение плоскости, заданной точкой и вектором нормали; общее уравнение плоскости.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве; условие параллельности плоскостей; условие перпендикулярности плоскостей.

Уравнения прямой в пространстве: уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором; уравнение прямой, заданной двумя точками; параметрическое уравнение прямой.

Понятие о поверхности второго порядка. Некоторые виды поверхностей второго порядка.

9.2. Типовые задания по теме

1. Используя общее уравнение плоскости, рассмотреть частные случаи расположения плоскости относительно: 1) осей координат; 2) координатных плоскостей; 3) начала координат.

2. Составить уравнение плоскости:

1) проходящей через точки А(3; -3; 0), В(-2; 0; 4), С(1; 3; 2);

2) проходящей через точку М(7; 3; 5) перпендикулярно вектору ;

3) проходящей через точку М(2;0;-1) параллельно плоскости ;

г) проходящей через точку М (2; 5; 4) и отсекающей равные ненулевые отрезки от осей координат;

д) проходящей через точку М(1; -2; 3) и ось OZ.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; -2; 3):

1) перпендикулярно вектору ;

2) параллельно плоскости ;

3) проходящей через точку М (0; 2; 5) параллельно оси OY.

4. Из точки А(2; 3; -5) на координатные оси опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

5. Определить расстояние от точки, симметричной точке М(3; 5; 8) относительно плоскости OXY, до плоскости .

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 2; -1) и пересекающую ось ОХ под прямым углом.

7. Две вершины параллелограмма АВСД заданы координатами: С(-2; 3; -5) и Д (0; 4; -7). Точка М (1; 2; -3,5) –точка пересечения диагоналей параллелограмма. Найти уравнение стороны АВ.

8. Написать каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку :

1) параллельно прямой ;

2) перпендикулярно прямой .

9. Даны точки А (1; 1; 1), В (2; 3; 3) и С(3; 3; 2). Составить уравнения прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной векторам и .

10. Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Найти:

а) длину ребер и ;

б) уравнение прямой, содержащей сторону ;

в) уравнение плоскости и площадь грани ;

г) объем данной пирамиды.

11. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость .

12. Найти координаты центра и радиус сферы .

13. Составить уравнение сферы, проходящей через точки , , , если ее центр лежит в плоскости XOY.

14. Составить уравнение сферы, если точки и являются концами одного из ее диаметров.

15. Составить уравнение окружности, образующейся в сечении сферы координатной плоскостью .

16. Найти координаты центра и радиус окружности, образующейся при пересечении сферы и плоскости .

17. Используя метод сечений, построить поверхность:

1) ; 2) .

18. Установить, какие поверхности определяются уравнением:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .