§5. Разложение вектора в декартовом базисе. Операции над векторами, заданными координатами. Длина вектора. Направляющие косинусы

1. Прямоугольный декартов базис. Разложение вектора в декартовом базисе

Рассмотрим пространство 0xyz, т.е. введем в пространстве прямоугольную декартовую систему координат.

Векторы , ,  единичные векторы осей Оx, Oy, Oz. Векторы , , называются ортами осей Оx, Oy, Oz, соответственно. Поскольку

, ,  некомпланарные, то они образуют базис в пространстве, который называют декартовым базисом.

Теорема. Любой вектор , заданный в пространстве 0xyz, может быть представлен в виде

= a_x + a_y + a_z . (1)

Представление вектора в виде (1) называется разложением вектора в декартовом базисе или разложением вектора по ортам.

Доказательство.

Проекции называются прямоугольными декартовыми координатами вектора . Записывают = (a_x; a_y; a_z). Каждый вектор имеет единственное представление в виде (1) в заданном базисе.

2. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам, т.е. заданными координатами.

Пусть даны два вектора

= a_x + a_y + a_z и = b_x + b_y + b_z . Тогда сумма векторов:

+ = (a_x + b_x) + (a_y + b_y) + (a_z + b_z) .

Разность векторов:

 = (a_x  b_x) + (a_y  b_y) + (a_z  b_z) .

Произведение вектора на число:

 = a_x + a_y + a_z .

Пример 5.1. = 2 + 3  и =  2 + 4 . Найти 2  .

3. Модуль вектора

По теореме о длине диагонали параллелепипеда

или .

 модуль вектора .

IV. Расстояние между двумя точками в пространстве

Рассмотрим вектор , где

Тогда  разложение по ортам, где

Расстояние между точками А и В равно , значит

расстояние между точками

Частный случай. Расстояние между точками на плоскости

, где

Пример 5.2. Найти и .

V. Направляющие косинусы

Направление вектора в пространстве определяется углами которые вектор составляет с осями Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов, т.е. называются направляющими косинусами вектора.

По свойству 1 проекций:

Тогда

VI. Условие коллинеарности двух векторов

Пусть векторы = a_x + a_y + a_z и = b_x + b_y + b_z коллинеарны.

Тогда =  , где – число. По свойству 3 проекций:

. ()

Обратно, если выполняются равенств (), то и коллинеарны

Равенства () означают:

Итак, для того чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны.

Условие коллинеарности векторов в пространстве.

Частный случай: условие коллинеарности векторов на плоскости.

Пример 5.3. При каком значении m векторы = (2;  m) и = (5; 3) коллинеарны.

13