1.3 Временные характеристики системы в пакете matlab

h(t)

h(t ) >> step(W)

t

Рисунок 1.1 – Переходная характеристика h(t)

w(t)

>>impulse(W)

Impulse Response

t

Рисунок 1.2 – Импульсная переходная характеристика w(t)

Значения выходных сигналов временных характеристик становятся равными коэффициенту усиления . Полученные графики подтверждают расчетные данные.

1.4 Асимптотические частотные характеристики системы

При определении частотных характеристик подразумевается, что на входе и выходе системы сигналы являются гармоническими.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменяется отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты.

ЛАЧХ строится в двойных логарифмических шкалах. По одной логарифмической оси откладывается круговая частота , по другой значение , выраженное в децибелах. Асимптотическая ЛАЧХ состоит из отрезков прямых линий с наклонами кратными 20 дБ/дек.

Преобразуем передаточную функцию к следующему виду:

Теперь она представляет собой произведение трёх апериодических и одного форсирующего звена с постоянным времени

Коэффициент усиления K=3.5. Сопрягающие частоты звеньев равны

Далее необходимо правильно разметить оси, и отметить на оси  сопрягающие частоты.

Так как интегрирующие звенья присутствует, то первый наклон в области низких частот будет +1 до первой сопрягающей чистоты ₁.Эта частота относится к форсирующему звену. Следовательно, наклон изменится на +1. Этот наклон будет идти до сопрягающей частоты ₂. Так как эта частота относится к апериодическому звену, то наклон изменится на -1 и станет 0. После частоты ₃ наклон изменится еще на -1 и будет продолжаться до ₄. Фазочастотная характеристика построена в соответствии с выражением

Значение каждого из слагаемых определяются приближенно для значений . В этих точках

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ приведены на рисунке 1.3 и 1.4 в приложении 1.

1.5 Частотные характеристики в пакете matlab

>>bode(W)

ω

)

L(ω)

)

Рисунок 1.5 – ЛАЧХ и ЛФЧХ системы

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ приведенные в приложении 1 совпадают с характеристиками построенными в пакете MATLAB. Следовательно, частотные характеристики построены верно.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) — удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в комплексных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза и амплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики.

>> nyquist(W)

P(ω)

Q(ω)

Рисунок 1.6 – АФЧХ системы

1.6 Уравнения состояния в нормальной и канонической формах, схемы моделирования (в режиме Simulink), виды переходного процесса.

Кроме входных и выходных переменных при описании систем выделяют переменные x, связанные с внутренней структурой устройства – переменные состояния. Тогда систему можно описать с помощью уравнений состояния.

Нормальная форма уравнений состояния имеет вид:

(1.2)

Здесь А – квадратная матрица определенного вида, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю – единицы, элементы нижней строки – коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком. Все остальные элементы – нули. Такая матрица называется матрицей Фробениуса.

Чтобы перейти от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы, нужно перейти из области изображений по Лапласу во временную область:

Для перехода во временную область воспользуемся формальными правилами:

Тогда дифференциальное уравнение системы имеет вид:

y΄΄΄(t)+16y΄΄(t)+81y΄(t)+126y(t)=1260u΄΄ (t)+2520΄u(t)

где и – коэффициенты уравнения.

A =

Элементы матриц B и D вычисляются по следующим рекуррентным соотношениям: ,

B = ,

Подставив рассчитанные матрицы в систему (1.2), получим

Скалярная форма уравнений состояния:

Рис 1.7 – Схема моделирования системы для нормальной формы в режиме Simulink Рисунок 1.8 – Вид переходного процесса

Запишем уравнения состояния в канонической форме. Для этого введем новую переменную состояния q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: х = М*q. М – это модальная матрица, которая имеет вид

M =

где _i – характеристические числа матрицы Фробениуса А.

При подстановке q вместо x в присоединенную каноническую форму уравнений состояния (1.2), то после преобразований получим уравнения состояния системы в модальной канонической форме:

(1.3)

Здесь  – диагональная матрица:

 =

где M^-1 – матрица, обратная модальной.

,

где AdjM – матрица, присоединённая к M, т. е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.

.

Подставив найденные значения в (1.3), получим:

Скалярная форма уравнений состояния:

Рисунок 1.9 - Схема моделирования системы для канонической формы в режиме Simulink

!!!!

Рисунок 1.10 – Вид переходного процесса

Уравнения состояния в ss-форме составим по матрицам, полученным в пакете MATLAB:

,

, ;

Подставим полученные матрицы в систему уравнений (1.2):

Скалярная форма уравнений состояния системы:

Рис 1.11 – Схема моделирования системы для нормальной формы в режиме Simulink

Рисунок 1.12 – Вид переходного процесса

Графики на выходе трех схемах моделей, соответствующих уравнениям состояния в нормальной, канонической и ss формах, совпадают с графиком переходной функции, построенной в MATLAB, следовательно, схемы построены верно.